交错群
数学领域术语
数学中,交错群(alternating group)是一个有限集合偶置换之。集合 {1,...,n} 上的交错群称为n 元交错群,或 n 个字母上的交错群,记做 An 或 Alt(n)。
基本性质
对 n > 1,群 An 是对称群 Sn 的交换子群,指数为 2,从而有n!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : Sn → {1, −1} 的核。
群 An 是阿贝尔群当且仅当 n ≤ 3,单当且仅当 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群,一般不称为单的,而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群,阶数为 60,也是最小不可解群
共轭类
对称群中,An的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为 1 的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987,§11.1, p299)。
例如:
例子
4 阶交错群是 A4= {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 。
自同构群
对称群和交错群的自同构
对n> 3,除了n= 6,An的自同构群就是 Sn的自同构群,其内自同构群为An外自同构群为Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。
对n= 1 与 2,自同构群平凡。对n= 3 自同构群是Z2,其内自同构群平凡外自同构群为Z2。
A6的外自同构群是克莱因四元群V=Z2×Z2,这也是S6的自同构群。A6另外的自同构将三轮换(比如 (123))与 3型元素(比如 (123)(456))交换。
特殊同构
在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是
更显然有 A3同构于循环群Z3,以及 A1与 A2同构于平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何q)。
子群
A4是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群G和 |G| 的一个因子d,不一定存在G的一个d阶子群。群G=A4,阶为 12,没有 6 阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。
群同调
交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论(stable homotopy theory)中的稳定性:对足够大的n是常值。
阿贝尔化
第一同调群与阿贝尔化相同,因为An除去已经提到的例外是完全群(perfect group),从而有
for n=1,2 and
舒尔乘子
当n等于 5 或大于等于 8 时,交错群 An的舒尔乘子(Schur multiplier)是 2 阶循环群;在 6 和 7 时有一个三重复盖,则舒尔乘子的阶数为 6。
对 与
参考资料
最新修订时间:2023-01-08 05:26
目录
概述
基本性质
共轭类
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