有限域
仅含有限个元素的域
有限域亦称伽罗瓦域(galois field),是仅含有限个元素的域,它是伽罗瓦(Galois,E.)于19世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的.有限域的特征数必为某一素数p,因此它含的素域同构于Zp.若F是特征为p的有限域,则F中元素的个数为pn,n为某一正整数.元素个数相同的有限域是同构的.因此,通常用GF(pn)表示pn元的有限域.GF(pn)的乘法群是(pn-1)阶的循环群.有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方面有着广泛的应用.
概念
在抽象代数中,是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。域是的一种。域和一般环的区别在于域要求它的元素可以进行除法运算,这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代定义中,域中元素关于乘法是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体,或者反称域。在过去的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”,包含有限个元素的域被称为有限域。
实际上,是一个可以在其上进行加法、减法、乘法和除法运算而结果不会超出域的集合。如有理数集合、实数集合、复数集合都是域,但整数集合不是(很明显,使用除法得到的分数或小数已超出整数集合)。
如果域F只包含有限个元素,则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。尽管存在有无限个元素的无限域,但只有有限域在密码编码学中得到了广泛的应用。每个有限域的阶必为素数的幂,即有限域的阶可表示为pn(p是素数、n是正整数),该有限域通常称为Galois域(Galois Fields),记为GF(pn)。
当n=1时,存在有限域GF(p),也称为素数域。在密码学中,最常用的域是阶为p的素数域GF(p)或阶为 的GF( )域。
有限域中的计算
一切有限域都有加法和乘法两种运算,并必须满足以下条件:
1.封闭性:若任意两元素a·b∈GF(q),则有
a+b∈GF(q) a·b∈GF(q)
2.结合律:若任意a、b、c∈GF(q),则有
(a+b)+c=a+(b+c),(a·b)c=a(b·c)
3.交换律:若任意a、b∈GF(q),则有
a+b=b+a,a·b=b·a
4.有乘法恒等元e和加法恒等元0,使任意元素a∈GF(q)都有:
a+0=a, a·e=a
5.任意元素a∈GF(q)都有乘法逆元素 和加法负元素(-a),使
a+(-a)=0
但 叫无定义。
6.乘对加分配律:任意a、b、c∈GF(q)有
a(b+c)=a·b+a·c
有限域的结构
1.有限域的乘法结构
域的全体非0元素集合构成交换乘群;全体元素集合构成交换加群。有限域的元素个数是有限的。因此,全体非0元素集合构成有限乘群,乘群中每个元素的级为有限。并可以证明,该群必由中的一个元素生成,且是循环群。
2.有限域的加法结构
在域中必有乘法单位元1,若作1+1+1+…运算,对无限域来说,则有可能n·1≠o,但在有限域中,1+1+…+1=0,否则该域必成为无限域。例如,在GF(2)中,1+1=0。
相关定理
定理1 一个有限域E有pn个元素,这里p是E的特征,而n是E在它的素域△上的次数。
定理2 令有限域E的特征是素数p,E所含的素域是△,而E有q=pn个元素,那么E就是多项式 在△上的分裂域。任何两个这样的域都同构。
定理3 令△是特征为p的素域,而q=pn(n≥1),那么多项式 在△上的分裂域E就是一个有q个元的有限域。
定理4 一个有限域E是它的素域△的一个单扩域。
参考资料
最新修订时间:2023-10-04 09:53
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概述
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