全纯映射(holomorphic map)是复流形上的一种有解析性的映射。

全纯映射是复流形之间的解析映射。设M，N分别是复m，n维复流形，f：M→N是连续映射。若对每一点p∈M，存在一个邻域U，使得f在U内可用局部坐标函数表示成：

其中ω都是全纯函数，则称f是全纯映射。

映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY。f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。

对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。

复流形是无支点黎曼曲面的推广。设M为具有可数基的仿紧拓扑空间，且在M上有开覆盖{Uα}，使得对每个开集Uα，存在Uα到C中的域上的同胚映射φα，于是Uα中任给一点p，则：

称为点p关于区图(Uα，φα)之坐标。设对M中任一点q，若存在Uα，Uβ使得q∈Uα∩Uβ.记q关于(Uα，φα)之坐标为(x1，x2，…，xn)，关于(Uβ，φβ)之坐标为(y1，y2，…，yn)，则：

为φα(Uα∩Uβ)到φβ(Uα∩Uβ)上的全纯同构，这时M称为n维复流形。n维复流形为2n维实解析流形，反之不一定。

复流形和实流形概念的引进扩大了微分几何和实分析的对象，产生了像大范围分析那样的学科一样，复流形概念的引进，扩大了复分析的研究领域和产生像复几何那样的学科，其中紧复流形的研究成果较多。最简单的紧复流形为紧黎曼面及n维复射影空间Pn。

亦称解析函数或正则函数，是解析函数论的主要研究对象。对于定义于复平面上区域D内的复变量z的单值函数f(z)，如果它在D内的每个点z0的一个邻域内都可以用z-z0的幂级数表示，则称f(z)在D内解析。外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))从幂级数出发，建立了解析函数的级数理论。如果在D内的每个点z处，极限：

(称为函数f(z)在z点的导数)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)称f(z)在D内是解析的。这两个定义是等价的。函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，z=x+iy在D内解析的另一个等价条件是：u=u(x，y)，v=v(x，y)在D内的每一个点z=x+iy处存在连续偏导数，并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件)：

这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件。函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理。