解析函数论(analytic function theory)是复变函数论的主要研究对象，如果说以测度为基础的实变函数论是研究那些性质不大“好”的函数的话，那么，解析函数论则是研究那些性质非常“好”的函数。解析函数论的理论基础是19世纪奠定的，柯西(A.-L.Cauchy)、外尔斯特拉斯(K.(T.W.Weierstrass))和黎曼((G.F.)B.Riemann)是这一时期的三位杰出人物，前两位分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼则研究了复变函数的映射性质。到20世纪，解析函数论已成为数学的重要分支之一，它的领域不断扩大，逐步发展成了一门庞大的学科，除了解析函数论的基本理论之外，还有黎曼面、共形映射、拟共形映射、泰希米勒空间理论、整函数与亚纯函数论、特殊函数论、调和函数论、单叶函数、Hp空间理论、代数函数、多复变函数等.另外，这门学科对其他学科如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等，以及数学中其他分支如微分方程、积分方程、概率论、数论等，都有重要的应用。

解析函数论的主要内容有复数与复变函数（复数表示法及其代数运算、序列极限及无穷大、复变函数的极限与连续性、复函数的导数与微分、复函数的积分、复变函数项级数等）、复变初等函数（有理函数、指数函数、三角函数与双曲函数、根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、反三角函数与反双曲函数等）、解析函数的基本特征、解析函数的重要性质、留数理论及其应用、解析开拓、单叶解析映照、复变函数方法在边值问题中的应用。

复变函数(function of a complex variable)是实变函数的推广，自变量和因变量均为复值的函数称为复变函数。设E为一复数集，若按照某一规律，E内每一复数z都有一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一单值复变函数w=f(z)(z∈E)，若对于自变量z的一个值，可能有几个或无穷多个w的值与之对应，则称在E上确定了一个多值复变函数w=f(z)(z∈E)，E称为该函数的定义域；函数值w的全体所成的集M称为函数w=f(z)的值域。

解析函数(analytic function)亦称全纯函数或正则函数，是解析函数论的主要研究对象，对于定义于复平面上区域D内的复变量z的单值函数f(z)，如果它在D内的每个点z0的一个邻域内都可以用z-z0的幂级数表示，则称f(z)在D内解析，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))从幂级数出发，建立了解析函数的级数理论。如果在D内的每个点z处，极限

(称为函数f(z)在z点的导数)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)称f(z)在D内是解析的，这两个定义是等价的，函数在D内解析的另一个等价条件是：在D内的每一个点处存在连续偏导数，并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件)：

这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件。函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理(参见“莫雷拉定理”)。

卡尔·魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)，德国杰出数学家，数学分析算术化的完成者，解析函数论的奠基人，在解析函数、椭圆函数、代数领域、变分学、微分几何、数学分析等方面，他都取得了卓越成就。

魏尔斯特拉斯1815年出生在德国西部的一个小村庄，他的父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断。14岁时，卡尔进入一所天主教预科学校，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学，从预科学校刚毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把他送到波恩大学学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官，卡尔对法律和商业毫无兴趣，在波恩大学，他把相当一部分时间用在数学上，他和阿贝尔一样，“直接向大师们而不是向他们的学生学习”，他常常独自钻研拉普拉斯的《天体力学》、雅可比的《椭圆函数新理论基础》等著作。

大学四年，卡尔没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。1839年，卡尔被送到蒙斯特学院学习，在那里，卡尔遇到一位不可多得的良师——古德曼，古德曼指导他完成了把椭圆函数表示成幂级数的商的结果，这是椭圆函数理论的一个重要发现。

1841年，卡尔取得了教师正式证书．26岁的他从此开始了长达15年的中学教书生涯，其中包括30岁到40岁这一段通常被认为是科学发明创造的黄金岁月。1842年，卡尔到普鲁士一所大学预科学校预备班任数学和物理的助理教师，不久晋升为正式教师，除了数学和物理，他还教德文、地理、书法和体操。白天，他忙着上课、批改作业，一到晚上，他就关上房门，点起蜡烛，通宵达旦地在数学之宫神游，攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。1853年，卡尔将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克列尔主办的《纯粹与应用数学杂志》，随即引起了轰动，他也因此获得博士学位。1856年，卡尔被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选为柏林科学院院士，后来他又转到柏林大学任教授，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄。

魏尔斯特拉斯还是一位无与伦比的数学教师，他刻苦钻研、严谨治学，在当中学教师的15年中，尽管教学任务繁重，工作条件很差，魏尔斯特拉斯仍坚忍不拔、孜孜不倦地钻研数学，经常达到废寝忘食的程度。1850年起，他患了眩晕症，常持续一小时以上，直到一阵摧人心肺的呕吐后才见消退．这种脑痉挛症折磨了他十余年，但他顽强地坚持教学和研究。实际上，在当中学教师的年代，他是以牺牲健康为代价从事数学研究的，他在柏林大学仍承担巨大的教学工作负荷。1860年3月，在一次讲课中他突然晕了过去，1861年底他完全病倒，在近两年中一直未能回到科能，他就坚持上课，常常只能坐着讲授，让优秀学生书写黑板，他善于用一种不可言传只能意会的精神激发学生的兴趣和创造欲。他讲课时不夸大其辞、哗众取宠；他关心学生，循循善诱，慷慨地指导学生论文课题，在讨论班上不断提出富有成果的想法，使之成为学生研究的主题，甚至把自己尚未发表也未留纪要的手稿借给学生。

魏尔斯特拉斯富有诗才，他曾说过，如果一个数学家不是某种程度上的诗人，他就永远不会成为一个完整的数学家，但有点奇怪的是，不像很多数学家喜欢音乐一样，他讨厌音乐，他是天主教徒，但在宗教观点上不走极端。

魏尔斯特拉斯品德高尚，他热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦，他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩属谁的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。

1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然长逝，享年82岁，数学家龙格曾高度赞扬魏尔斯特拉斯“自下而上地构筑了完美的数学大厦。”这是对魏尔斯特拉斯的一个很好概括。