超越数,数学概念,指不是代数数的数。超越数的存在是由
法国数学家刘维尔(Joseph Liouville,1809 ~ 1882)在1844年最早证明的。关于超越数的存在,刘维尔写出了下面这样一个
无限小数:a=0.110001000000000000000001000…(a=1/10^(1!)+1/10^(2!)+1/10^(3!)+…),并且证明取这个a不可能满足任何整系数多项式方程,由此证明了它不是一个
代数数,而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数,所以把数a称为
刘维尔数。
定义
超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数,即不是代数数的数。因为欧拉说过:“它们超越代数方法所及的范围之外。(1748年)”而得名。
1844年,法国数学家
刘维尔(J.liouville,1809 ~ 1882)首先证明了超越数的存在性。
厄米特与
林德曼先后证明了 e 与 π 为超越数。
难题
超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数,定义恰与
代数数相反。两个著名的例子:圆周率 π=
3.1415926535…、
自然对数的底 e=2.718281828…。可以证明,超越数有无穷多个。在实数中,除了代数数外,其余的都是超越数,但是超越数不一定是实数,比如著名的欧拉公式中的即是一个虚超越数。实数可以作如下分类:实数分为实代数数、实超越数。所有超越数构成的集是一个
不可数集。这暗示超越数为无穷数集。可是,现今发现的超越数极少,因为要证明一个数是超越数是十分困难的。
证明
刘维尔数证明后,许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年,法国数学家
埃尔米特(Charles Hermite,1822 ~ 1901)又证明了自然对数底e的超越性,从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年,德国数学家林德曼证明了
圆周率也是一个超越数(完全否定了“
化圆为方”作图的可能性)。
在研究超越数的过程中,大卫·希尔伯特曾提出猜想:a是不等于0和1的代数数,b是无理代数数,则a^b是超越数(希尔伯特问题中的第七题)。
这个猜想已被证明,于是可以断定e、π是超越数。
常见形式
实数中除代数数以外的数,亦即不满足任一个整系数多项式方程(n 为正整数,≠0)的数。理论上证明超越数的存在并不难,而且可知超越数是大量的。但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数(如 π、e)等的超越性得到了证明,对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。
数例
π
π,在我国叫又环率、圆率、圆周率等。
最先得出π≈3.14的是希腊的
阿基米德(约公元前240年),最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人
托勒密(约公元前150年),最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之(约480年),1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值,通过2边形计算π到35位小数,花费了毕生精力,1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数,这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
达什首先计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是,达什1824年生于汉堡,只活了短短的37年,便离开了人世,他是一个闪电般的计算者,是一位最了不起的人工计算者,他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法,在6分钟内完成了两个20位数的乘法,在40分钟内完成了两个40位数的乘法;他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位
对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1706年,英国的威廉·姆士首先使用π这个符号,用来表示圆周和直径的
比值,但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后,π才在这种情况下得到了普遍的应用。
1873年,英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年,美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
e
在中学数学书中这样提出:以e为底的对数叫做
自然对数。那么e到底有什么实际意义呢?
1844年,法国数学家刘维尔最先推测e是超越数,一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。
1727年,欧拉最先用e作为数学符号使用,后来经过一个时期人们又确定用e作为
自然对数的底来纪念他。有趣的是,e正好是欧拉名字第一个小写字母,是有意的还是偶然巧合?现已无法考证!
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的
衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用
齐奥尔科夫斯基公式计算
火箭速度时也会用到e,在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时,也要用到e。
同π一样,e也会在意想不到的地方出现,例如:“将一个数分成若干等份,要使各等份乘积最大,怎么分?”要解决这个问题便要同e打交道。答案是:使等分的各份尽可能接近e值。如,把10分成10÷e≈3.7份,但3.7份不好分,所以分成4份,每份为10÷4=2.5,这时2.5^4=39.0625乘积最大,如分成3或5份,乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。
1792年,15岁的高斯发现了素数定理:“从1到任何自然数N之间所含
素数的百分比,近似等于N的自然对数的倒数;N越大,这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家
阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制
对数表最好;
微积分公式也具有最简的形式。这是因为只有e^x
导数就是其自身,即d/dx (e^x)=e^x。
意义
超越数的证明,给数学带来了极大的变革,它证明了几千年来数学上的难题——
尺规作图三大问题,即
倍立方问题、
三等分任意角问题和
化圆为方问题都是尺规不能问题(无法用尺规证明的问题)。
各种形式
π 和 e 的无穷级数形式
π=4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…)=4∑((-1)n/(1+2n)),n∈N
e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+… =∑1/(n!),n∈N
π 的反正切函数形式
π=16arctan1/5-4arctan1/239,
π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239。