初等复变函数是实变量
初等函数在复数域中的推广。复变量的初等函数的定义形式上与初等函数相同，只不过它们的定义域已由实数集合推广到复数域中。
在实函数中，
常数函数、
幂函数、
指数函数、
对数函数、
三角函数、
反三角函数这六类函数称为
基本初等函数，而一切可由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合生成的函数称为初等函数。
实变量的初等函数推广到复数域后，在实数域中保持它们原有的性质，但在复数域中具有一些新的性质，如
复变指数函数的周期性、复变对数函数的无穷多值性、复变正弦函数与复变余弦函数的无界性等。
若ew=z(z≠0，∞)，则复数w称为复数z的对数，记为w=Logz=log|z|+i(arg z+2kπ)(k=0,±1,±2,...}。若限定-π
复变三角函数
(trigonometric functions of a complex variable)
复变正弦函数与余弦函数定义为。当z为实数时，此定义与数学分析中关于正弦函数和余弦函数的定义是一致的。
复变反三角函数
(inverse trigonometric func- dons of a complex variable)
复变反三角函数是实变量反三角函数在复数域中的推广。由可解得由此定义复变反正弦函数为同样地定义复变反余弦函数和复变反正切函数为：