基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。基础解系需要满足三个条件：(1)基础解系中所有量均是方程组的解；(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示；(3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。值得注意的是：基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。

对于m个方程、n个未知数的齐次线性方程组 ，系数矩阵记为A，其秩记为r(A)，齐次线性方程组总有零解，不存在无解的情况，且其有非零解的等价条件为 ，即系数矩阵 中的列向量 线性相关。而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。证明如下：

设 是 的两个不相等的解向量，即有：

令 ，其中 为任意实数，即 称为 的线性组合，且有：

即可得， 也是 的解。

把由齐次线性方程组 的解所构成的集合称为解空间，它的维数为 。 该解空间中的一组基就成为该线性方程组的一组基础解系。换句话说，基础解系是由 个线性无关的解向量构成的，基础解系的解向量个数是确定的，但解向量是不确定的，只要两两之间线性无关即可。基础解系的任意线性组合构成了该齐次线性方程组 的一般解，也称通解。

要证明一组向量为齐次线性方程组 的基础解系时，必须满足以下三条：

（1）这组向量是该方程组的解；

（2）这组向量必须是线性无关组，即基础解系各向量线性无关；

（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

另外，这组向量所含向量的个数 ，其中 是未知量的个数，即系数矩阵 的列数

求法一：先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解，即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式，然后将此一般解改写成向量线性组合的形式，则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。由此易知，齐次线性方程组中含几个自由未知量，其基础解系就含几个解向量。

求法二：先确定自由未知量，不妨设AX=b的系数矩阵A的秩为r，并假设A经过初等行变换化为如下形式：

则AX=0分别可化为如下的同解方程组：

令自由未知量xr+1，xr+2，……，xn分别取n－r组数[1,0,...,0],[0,1,0,...,0],...,[0,0,…,1]，将其带入方程组，分别带入x1，x2，……，xr分别取n－r组数，这样就得到基础解系所含的n一r个线性无关的解，即

其中，含所有自由未知量的取值全为0，代入方程组①，得原方程组的一特解为

参考资料：

【例题1】：

已知齐次线性方程组 的一组基础解系为 ，则下列结论是否正确？

a. 也为 的一组基础解系。

b.向量组 能被向量组 线性表出，则 也是 的基础解系。

c.向量组 与向量组 可以互相线性表出，则 也是 的基础解系。

d.向量组 与向量组 是等价的向量组，则 也是 的基础解系。

【解析】：

a.正确。 首先因 是线性方程组 的3个解向量，它们的线性组合 也是 的解。再证它们是线性无关的。证明方法有很多种，最简单的方法是：设 ，矩阵 的列秩等于3，而通过列初等变换可把 化为 ， （初等变换不改变矩阵的秩），所以 的列秩也为3. 列向量组 为 的3个线性无关的解向量，满足前面提出的3条（见证明），所以它们构成 的一组基础解系。

b.不正确。因为 能被 线性表出，根据定理， ，这不能保证 （例如 ，则 线性相关），即 有可能成为的一组线性相关解，故不能构成 的一组基础解系。

c.正确。两组向量可以互相线性表出，故 ，且 有满足 ，即它们为 的3个线性无关解，故构成 的一组基础解系。

d.不正确。因为 的个数为4，故不能构成 的基础解系，实际上，因为两组向量等价，故等秩，向量组 是线性相关的。