设M为光滑
流形，则M的逐点定向为对M的每个
切空间选取一个定向。设(Ei)为M的
切丛TM的局部
标架，若对M上所有点p，(E1|p,...,En|p)为TpM的定向基，则称(Ei)为定向标架。若M上所有点均在定向局部标架的定义域内，则称M的逐点定向为连续逐点定向。
n维流形M的R定向为
开覆盖{Ui}与M在Ui的R
基本同调类zi，满足若Ui⋂Uj非空，则zi与zj映射到Hn(M,M-Ui⋂Uj)的同一元。
设同调群的系数取值于
交换幺环R，Hn(M,M-x)≅R，则Hn(M,M-x)可视为单
生成元的自由
R模，其生成元为R的
单位元，则R定向相当于选取生成元。