对称有界域是研究得最深入的一类
齐性有界域。Cn中的域称为对称有界域，如果它关于
伯格曼度量为
对称埃尔米特流形。对称有界域为齐性有界域，它双全纯同构于不可分解对称有界域的拓扑积，而不可分解对称有界域双全纯同构于几种典型域之一。这些域也都是不可分解的对称域，且可具体写出来。
E.嘉当证明了对称有界域为
齐性有界域，且在1935 年给出了它们的分类，即证明了对称有界域为下面一些不可分解的标准对称有界域的拓扑积，其中标准对称有界域有四大类，华罗庚称之为典型域；
另外(并未证明) 至多还有两个特殊的，一个是复 16 维，另一个是复 27 维。另一方面，他的儿子H.嘉当证明了当n= 1,2,3 时，齐性有界域必为对称有界域。
因此，E.嘉当提出了下面的著名猜想：齐性有界域必为对称有界域。这一猜想长期未能解决（为了减弱难度，华罗庚提出了另一猜想：
齐性有界域的
黎曼曲率必非正）。
嘉当猜想在1959 年由
皮亚捷茨基-沙皮罗(Piatetski-Shapiro) 举出反例予以否定，随后他引进了
西格尔域的概念，证明了齐性有界域必全纯等价于齐性西格尔域。进一步的分类问题，至今没有解决。附加一些条件后，有一些分类结果。