射影变换群(projective transformation group)，简称射影群。是一类基本的变换群，即由射影空间中全体射影变换所构成的变换群。

射影变换群简称射影群。一类基本的变换群。即由射影空间中全体射影变换所构成的变换群。例如平面上全体射影变换构成平面上的射影群。空间中全体射影变换构成空间中的射影群。研究在射影群下不变性质与不变量的几何称为射影几何。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

几何学研究的重要对象。即由变换构成的群。设G是集合S的一一变换所构成的集合，若它满足：

1.集合内任二变换之积仍属于这集合；

2.集合内任一变换的逆变换仍属于这集合，

则称G为S的一个变换群。例如，平面上正交变换的全体构成的变换群称为正交群；平面上仿射变换的全体构成的变换群称为仿射群。平面上射影变换的全体构成的变换群称为射影群。在“埃尔朗根纲领”中，变换群可用来对几何学进行分类。

一组变换，对变换的乘积构成的群。设G为M上的有限或无限个变换的集合，若满足下面两个条件：①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G；②集合G中每一个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。

例如，平移变换可以构成一个群：平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换；每个平移变换都有逆变换，这个逆变换就是按原变换相反方向的变换，所以仍是平移变换。

用变换群来研究对应的几何学的观点，是由德国数学家克莱茵首先提出来的。1872年，克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何，统一在变换群的观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学。这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，为用近代数学方法研究几何学开辟了道路，因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》。

按照变换群的观点，几何学可以这样分类：研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学。正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学。近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。

射影空间是整体几何最基本的研究对象之一。射影空间的概念最初产生于古典射影几何。对于射影定理中的奇异情形(即有些直线相互平行的情形)，为方便起见引入无穷远点的概念，即规定平面上每条直线上有一个无穷远点，两条直线平行就是相交于无穷远点，所有无穷远点组成一条无穷远直线。这种构造方法还可以推广到高维空间，建立n维(实)射影空间PR。在n维射影空间中常采用齐次坐标(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全为0；若a≠0，则(aX0∶aX1∶…∶aXn)与(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一个点.因此n维(实)射影空间同构于(R-{0})/R.进一步的研究表明PR是紧致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)为PR中坐标Xi≠0的点全体，则UiR，且U0，U1，…，Un组成PR的一个开覆盖。上述构造方法可以推广到任意体K上，建立K上的n维射影空间PK.在概形理论中，还将射影空间建立在整数环Z上，即建立射影概形PZ。由此对任意概形X可以建立PX，它是X和PZ(在Spec Z上)的纤维积。特别地，若X=Spec K(K为域)，则PX=PK。

由于射影空间的性质非常丰富难以全面列举，仅举数例如下：

1.PR同胚于圆，PC可看做添上无穷远点的复平面，同胚于球面。

2.PR是单侧曲面，可以同胚地嵌入四维空间R，但不能同胚地嵌入三维空间R，PC是代数极小曲面。

3.PC是克勒流形，它的闭解析子空间都是代数的。

4.对任意域k，Pk是齐性空间，其切丛由整体向量场生成，其自同构群为射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(Pk)Z。

设E为交换体K上的有限维向量空间，P(E)为由E导出的射影空间，f为E的自同构。 直线在f下的象还是直线，这表明f在E-{0}上的限制同E-{0}上的等价关系是相容的。 通过求商，由f导出的从P (E)到其自身中的映射是双射。 这种形式的全体映射构成P(E)的全体置换之群的子群，称为P(E)的射影群，并记为PGL(E)。PGL(E)的元素称为射影自同构。映射 f是从GL(E)到PGL(E)上的同态，其核是E的全体同位相似的群。 当E=K时，射影群记为PGLn(K)，或PGL(n，K)。

射影几何亦称投影几何。几何学的一个分支。主要研究图形在射影对应(射影变换)下不变的几何性质。射影变换是射影几何中最重要的几何变换。这种变换的主要特点是保持结合性。例如，点与直线及点与平面的结合性等。交比是射影几何中最基本的不变量，其他不变量都可以用交比表示出来。

射影几何的思想，特别是其中的透视投影原理，早在古罗马时代已为画家所认识和应用；射影几何的基本不变量——交比，早已为帕普斯(Pappus，(A))所熟知;射影几何的一些命题也早已为古代几何学家所得到(参见“高等几何”).然而，射影几何作为几何学的一个独立分支学科却是在19世纪初期，随着几何学的发展以及绘画与建筑的需要而形成和发展起来的。1822年，彭赛列(Poncelet，J.-V.)发表了射影几何的第一部系统著作《论图形的射影性质》一书.他通过几何方法引进无穷远元素，研究了二次曲线和二次曲面的配极理论，并由此导出一般的对偶原理.稍后，施泰纳(Steiner，J.)研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，并于1832年引进了线素二次曲线概念。1847年，冯·施陶特(von Staudt，K.G.C.)通过几何作图来建立直线上点的坐标，进而使交比与射影坐标不依赖于任何度量.此外，他还以精巧的方法给出虚元素的几何解释。与此同时，运用解析法研究射影几何也有了长足的发展.首先是默比乌斯(Mo¨bius，A.F.)创立了一种齐次坐标，揭示了对偶原理与配极之间的关系，并于1827年对交比的概念给出了完善的处理.接着，普吕克(Plücker，J.)引进了另一种齐次坐标，得到了平面上无穷远线的方程和无穷远圆点的坐标.他还引入了线坐标的概念，于是从代数观点自然就得到对偶原理，并得到一般线曲线的概念.在19世纪前半叶的几何研究中，综合法与解析法的争论非常激烈.一些几何学家坚持运用综合法，如彭赛列、施泰纳等.综合法也确实有它独特的优点，它形象鲜明，使有些问题的论证直接而简洁.由于他们的努力，使综合射影几何形成了一个优美的体系。1882年，帕施(Pasch，M.)建立了第一个射影几何演绎体系.1872年，克莱因(Klein，(C.)F.)利用变换群的观点把各种几何学联系起来，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看做是射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得更加明朗。

1899年，希尔伯特(Hilbert，D.)发表了《几何基础》一书，开创了现代公理化方法.此后逐渐出现了各种几何学的公理体系。由于数学家们的共同努力，到19世纪末，射影几何的观点与方法已渗透到各个几何领域之中，使得欧几里得几何，罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等联成一个统一的整体。同时，射影几何还在航空、摄影和测量等方面有着广泛的应用。