循环是非交换几何中的概念。
定义
n维循环为三元组(Ω,d,∫)，其中Ω=⨁nj=0Ωj为ℂ上
分次代数。d为次数为1的幂零分次
导子，∫:Ωn→ℂ为闭分次
迹，即∫dω=0且∫(ω1ω2-(-1)deg(ω1)deg(ω2)ω2ω1)=0。
设A为ℂ上代数。则A上的循环由循环(Ω,d,∫)以及同态ρ:A→Ω0给出。
相关概念
给定A上n维循环，则可定义A上循环n上闭链的
特征标φ
φ(a0,a1,...,an)=∫ρ(a0)dρ(a1)...dρ(an)。
反之，任何A上循环上闭链可由A上循环得到。
故A上循环n上闭链与非交换微分形式ΩnA上闭分次迹有一一对应关系。
弗雷德霍姆模
构造
设A为
对合代数，(H,F)为A上
弗雷德霍姆模。当n为偶数时，(H,F)为偶弗雷德霍姆模。
令Ω0=A，Ωk＞0由ω=a0[F,a1]...[F,ak]张开的线性空间。
Ω*的积为算子积，对ω∈Ωk与ω'∈Ωk'，ωω'∈Ωk+k'。
微分d:Ω*→Ω*定义为dω=[F,ω]=Fω-(-1)deg(ω)ωF，则有
微分分次代数(Ω*,d)。
定义Trs:Ωn→ℂ为Trs(ω)=Tr(Fdω)/2,n为奇数；Trs(ω)=Tr(γFdω)/2,n为偶数，其中γ来源于(H,F)的ℤ2分次算子。
则(Ω,d,Trs)为A上n维循环。
特征标
n维循环的特征标为循环上闭链τn，定义为
τn(a0,...,an)=Trs(a0da1...dan)。
λnτn(a0,...,an)，
其中当n为偶数时，λn=(-1)n(n-1)/2Γ(n/2+1)；
当n为奇数时，λn=(2i)1/2(-1)n(n-1)/2Γ(n/2+1)。