《数学分析讲义》是2009年
北京大学出版社出版的一本图书，作者
陈天权。
内容简介
《数学分析讲义》是作者在
清华大学数学科学系（1987～2003）及
北京大学数学科学学院（2003～2009）给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面，作者力求以近代数学（集合论，拓扑，测度论，微分流形和微分形式）的语言来介绍数学分析的基本知识，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学分析与其他学科（特别是物理学）的联系，以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。全书分为三册。第一册包括：集合与映射，实数与复数，极限，连续函数类，一元微分学和一元函数的Riemann积分；第二册包括：点集拓扑初步，多元微分学，测度和积分；第三册包括：调和分析初步和相关课题，复分析初步，欧氏空间中的微分流形，重线性代数，微分形式和欧氏空间中的流形上的积分。每章都配有丰富的习题，它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外，也介绍了许多补充知识。
《数学分析讲义》可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书，也可作为需要把数学当做重要工具的同学（例如攻读物理的同学）的教学参考书。
图书目录
第一册
第1章 集合与映射
1.1 集合
1.2 集合运算及几个逻辑符号
1.3 映射
1.4 映射的乘积(或复合)
1.5 可数集
1.6 习题
1.7 补充教材一：关于自然数集合N
1.8 补充教材二：基数的比较
1.9 补充习题
进一步阅读的参考文献
第2章 实数与复数
2.1 实数的四则运算
2.2 实数的大小次序
2.3 实数域的完备性
2.4 复数
2.5 习题
2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑
2.7 补充教材二：实数域R的构筑
进一步阅读的参考文献
第3章 极限
3.1 序列的极限
3.2 序列极限的存在条件
3.3 级数
3.4 正项级数收敛性的判别法
3.5 幂级数
3.6 函数的极限
3.7 习题
进一步阅读的参考文献
第4章 连续函数类和其他函数类
4.1 连续函数的定义及其局部性质
4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质
4.3 单调连续函数及其反函数
4.4 函数列的一致收敛性
4.5 习题
4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数
进一步阅读的参考文献
第5章 一元微分学
5.1 导数和微分
5.2 导数与微分的运算规则
5.3 可微函数的整体性质及其应用
5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式
5.5 Taylor级数
5.6 凸函数
5.7 几个常用的不等式
5.8 习题
5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质
5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述
5.10.1 谐振子
5.10.2 阻尼振动
5.10.3 强迫振动
进一步阅读的参考文献
第6章 一元函数的Riemann积分
6.1 Riemann积分的定义
6.2 Riemann积分的简单性质
6.3 微积分学基本定理
6.4 积分的计算
6.5 有理函数的积分
6.6 可以化为有理函数积分的积分
6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分
6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分
6.6.3 R(sinx,cosx)的积分
6.7 反常积分
6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用
6.8.1 定向区间的可加函数
6.8.2 曲线的弧长
6.8.3 功
6.9 习题
6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件
6.11 补充教材二：Stieltje8积分
6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数
6.12.1 一维的
非线性振动的例：单摆的平面运动
6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数
6.13 补充教材四：上、下积分的定义
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引
第二册
第7章 点集拓扑初步
7.1 拓扑空间
7.2 连续映射
7.3 度量空间
7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商
7.6 紧空间
7.7 Stone-Weierstrass逼近定理
7.8 连通空间
7.9 习题
进一步阅读的参考文献
第8章 多元微分学
8.1 微分和导数
8.2 中值定理
8.3 方向导数和偏导数
8.4 高阶偏导数与Taylor公式
8.6 单位分解
8.7 一次微分形式与线积分
8.7.1 一次微分形式与它的回拉
8.7.2 一次微分形式的线积分
8.8 习题
8.9 补充教材一：
线性赋范空间上的微分学及变分法初步
8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射
8.9.2 连续重线性映射空间
8.9.3 映射的微分
8.9.4 有限增量定理
8.9.5 映射的偏导数
8.9.6 高阶导数
8.9.7 Taylor公式
8.9.8 变分法初步
8.9.9 无限维空间的隐函数定理
8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理
8.10.1 Lagrange方程组和
最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献
第9章 测度
9.1 可加集函数
9.2 集函数的可数可加性
9.3 外测度
9.4 构造测度
9.5 度量外测度
9.6 Lebesgue不可测集的存在性
9.7 习题 进一步阅读的参考文献
第10章 积分
10.1 可测函数
10.2 积分的定义及其初等性质
10.3 积分号与极限号的交换
10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较
10.5 Futfini-ronelli定理
10.6 Jacobi矩阵与换元公式
10.7 Lebesgue函数空间
10.7.1 LP空间的定义
10.7.2 LP空间的完备性
10.7.3 Hanner不等式
10.7.4 LP的对偶空间
10.7.5 Radon-Nikodym定理
10.7.6 Hilbert空间
10.7.7 关于微积分学基本定理
10.8 二次微分形式的面积分
10.8.1 一次微分形式的外微分
10.8.2 二次微分形式和平面的定向
10.8.3 二次微分形式的回拉和积分
10.8.4 三维空间的二次微分形式
10.8.5 平面上的Green公式
10.9 习题
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引
第三册
第11章 调和分析初步和相关课题
11.1 Fourier级数
11.2 Fourier变换的L1-理论
11.3 Hermite函数
11.4 Fourier变换的L2-理论
11.5 习题
11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论
11.6.1 C0(M)上的正线性泛函
11.6.2 可积列空间L1
11.6.3 局部紧度量空间上的外测度
11.6.4 列空间L1中的元素的实现
11.6.5 l-可积集
11.6.6 积分与正线性泛函的关系
11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理
11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理
11.6.9 概率分布的特征函数
11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍
11.7.1 广义函数的定义和例
11.7.2 广义函数的运算
11.7.3 广义函数的局部性质
11.7.4 广义函数的Fourier变换
11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用
11.8 补充习题
进一步阅读的参考文献
第12章 复分析初步
12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式
12.2 全纯函数
12.3 留数与Cauchy积分公式
12.4 Taylor公式和奇点的性质
12.5 多值映射和用回路积分计算定积分
12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数
12.7 全纯函数与二元调和函数
12.8 复平面上的Г函数
12.9 习题
进一步阅读的参考文献
第13章 欧氏空间中的微分流形
13.1 欧氏空间中微分流形的定义
13.2 构筑流形的两个方法
13.3 切空间
13.4 定向
13.5 约束条件下的极值问题
13.6 习题
进一步阅读的参考文献
第14章 重线性代数
14.1 向量与张量
14.2 交替张量
14.3 外积
14.4 坐标变换
14.5 习题
进一步阅读的参考文献
第15章 微分形式
15.1 Rn上的张量场与微分形式
15.2 外微分算子
15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子
15.4 回拉
15.5 Poincare引理
15.6 流形上的张量场
15.7 Rn的开集上微分形式的积分
15.8 习题
进一步阅读的参考文献
第16章 欧氏空间中的流形上的积分
16.1 流形的可定向与微分形式
16.2 流形上微分形式的积分
16.3 流形上函数的积分
16.4 Gauss散度定理及它的应用
16.5 调和函数
16.6 习题
16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍
16.8 补充教材二：Hodge星算子
16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示
进一步阅读的参考文献
结束语
进一步阅读的参考文献
参考文献
关于以上所列参考文献的说明
名词索引
作者简介
陈天权教授。
上海市人。1959年毕业于
北京大学数学力学系。在校期间与王选院士，张恭庆院士并列北大数学力学系“十大才子”。历任内蒙古大学讲师、副教授、教授。1979年赴美国柯朗研究所和霍普金斯大学力学系从事应用数学研究。专于湍流及相关气体运动的研究。曾于清华大学任教，后在北京大学开设《数学分析》、《泛函分析》等课程，现又在清华大学讲授《数学分析》。撰有《湍流运动中的Hilbert - Enskon - Chanman展开》等论文。