曼海姆定理_数学术语 - 线报百科mbji.cn

曼海姆定理

数学术语

曼海姆定理是指有一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。

性质

1、在三角形ABC的外接圆⊙O中，另有一圆⊙M分别与其内切，并和AB,AC相切于P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心。

2、在三角形ABC的外接圆⊙O外，另有一圆⊙M分别与其外切，并和AB,AC延长线相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的旁心。

证明

证明一

当两圆内切时,过D作两圆外公切线上与B同侧一点为E，与C同侧一点为F

联结DP,DQ并延长，交外接圆于S,T.联结BD,AD,PQ,SA.

因为∠PDE=∠PQD=∠BPD=∠BAD+∠ADS,

∠SDE=∠SAD=∠SAB+∠BAD,

所以∠ADS=∠SAB，

所以S为弧AB中点,

所以S.I.C共线.

同理，B.I.T共线.

连接SC,BT.

对ABTDSC运用帕斯卡定理，则P.I.Q共线.

易知PQ⊥AI，故PI=IQ，I为PQ中点.

命题得证。

当两圆外切时，类似可证。

证明二

这里将P,Q改成E,F

作DG交AB于G，使得GE=GD

则∠GED=∠GDE

∵GE为小圆切线

根据切线长定理可得

GD为小圆切线

∴GD为大圆切线

连接DE延长交大圆于T，连接AT、AD

则∠GDE=∠TAD

∵∠GED=∠TEA∴∠TAD=∠TEA

∴△ATE∽△DTA

∴∠TAB=∠TDA=∠TBA

∴T为弧BTA中点

连接TC，则TC平分∠BCA

连接DF延长交大圆于S，同理可得S为弧ASC中点

连接SB，则SB平分∠ABC

∴TC、SB交于△ABC内心I

对ABTDSC运用Pascal定理，则E.I.F共线.

连AI，则AI平分∠EAF

根据切线长定理可得AE=AF

∴AI平分EF I为EF中点

命题得证。

当两圆外切时，类似可证。

参考资料

最新修订时间：2022-10-04 14:14

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