正则函数（regularfunction），又称全纯函数、解析函数，属于高等数学中的函数，可展开为幂级数的(实变)函数，称为正则函数，上述定义还适合于复变函数。通常，正则函数是对复变函数定义的：在定义区域内处处可微的复变(复值)函数，称为正则函数。

正则函数亦称全纯函数或解析函数，是解析函数论的主要研究对象，对于定义于复平面上区域 内的复变量z的单值函数 ，如果它在D内的每个点 的一个邻域内都可以用 的幂级数表示，则称 在D内解析，外尔斯特拉斯(K.(T.W.)Weierstrass)从幂级数出发，建立了解析函数的级数理论，如果在 内的每个点z处，极限

(称为函数 在z点的导数)都存在，柯西(A.-L.Cauchy)称在D内是解析的，这两个定义是等价的。函数 在D内解析的另一个等价条件是： 在 内的每一个点 处存在连续偏导数，并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件)：

这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件，函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理。

性质1 函数 在域D内每一点具有导数 ，而且导数 在D内为连续。

性质2 在域D中，函数 的实部 (于此， )，)和虚部 具有一次连续偏导数

它们在D内满足恒等条件

性质3 这项性质预先假定了函数 在域D内为连续；下面，我们把它用两种不同方式( 和 )叙述出来，这两种方式等价。

：无论对于域D内的任何两点 和b，沿D内从 到b所引的(有限长)曲线C所取的积分 与积分的路径无关，而仅与函数 和始点a及终点b有关；

：对于域D内的任何(有限长)闭曲线 ，沿这曲线所取的积分 等于0。

性质4 对于域D内的任何一点a，函数 在点a可展成一幂级数。详言之：对于域D内的任何一点a，存在一列系数 (与a有关)，使得级数

在某一圆 (圆的半径R与a有关)内收敛，且其和等于 。

性质5 函数 在域内每一点具有导数 。

对于与柯西同时的人黎曼(B.Riemann，1826一1866)来说(他与柯西无关地在德国奠定了复变函数论的基础)，出发点就是关系

这在后来通行叫作“柯西一黎曼条件”(或欧拉一达朗贝尔条件)。

对于比较靠近20世纪的德国学者魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1855--1897)来说(他除了几个其他的数学科目之外，并对复变函数论建立起坚实的基础)，出发点是可以展开成幂级数这种性质(性质4)。

最后，从近代的数学方法论的观点来看，在建立复变函数论的时候，采用解析函数的积分性质(性质3)可能有很大的优越性，这是因为在很快得出柯西积分之后，就可以从它进而导出可微分性，以及可以展成幂级数性等。