④若X还满足X(t)-X(s）的分布仅依赖于t-s，则称X为
齐次泊松过程；这时Λ（t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Λ(t)=λt，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次
泊松过程可通过
时间尺度的变换变为
齐次泊松过程。
对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续
阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的
独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写
随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的
累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段[0,t）内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。
描述
随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程{X(t），t≥0}，往往也可以用它依次发生跳跃（即发生随机事件）的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn=inf{t:X(t）≥n}，n≥1，而当Tn
泊松过程的充分必要条件为{τn，n≥1}是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t）是参数为λt的泊松分布随机变量，而当X(t)=k已知的条件下，X的k个跳跃时刻与 k个在[0,t）上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐次泊松过程X是使{X(t)-λt,t≥0}为鞅的跃度为1的计数过程。较
泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是
指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在[0,t)时段内故障的
累计次数N(t）是
泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用
随机变量Yi表示第i次耗损，则在[0,t)内总的耗损为。当{N(t），t≥0}为齐次泊松过程，{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与{N(t）}独立时，X={X(t），t≥0}称为
复合泊松过程。由于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定，因而复合泊松过程可用{(Tn,Yn),n≥1}来规定，即。若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的
随机过程，常称为
标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。
泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的特例。
独立增量过程的莱维－伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与
布朗运动一起称之为随机过程的基石。