这个
定理建立了希尔伯特空间与它的对偶空间的一个重要联系：如果底
域是
实数，两者是
等距同构；如果域是
复数，两者是等距反同构。在
泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家
弗里杰什·里斯。
这个定理建立了
希尔伯特空间与它的连续
对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是
等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。
是的一个元素，这里 表示
希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言中任何元素都能惟一地写成这种形式。
的逆映射可以描述为： 给定中一个元素，核的
正交补是的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素，令 。则 Φ(x) = φ。
历史上，通常认为这个定理同时由里斯和
弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 ，可以构造
有界变差函数 ，使得无论连续函数是什么，都有 ”
在
量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的
狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个
右矢 有一个相应的左矢，对应是清楚的。但是存在
拓扑向量空间，比如核空间，里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。
下面的定理表示出 Cc(X) 上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的
博雷尔集表示由开集生成的σ代数。
局部紧豪斯多夫空间X上一个非负可数可加博雷尔测度 μ 是正则的（regular）
当且仅当开 }.
定理：设X是一个局部紧豪斯多夫空间。对Cc(X)上任何
正线性泛函ψ，X上存在唯一的正则
概率测度μ使得
领略测度论的一个途径是从
拉东测度开始，其可定义为上的一个
正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设X首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。若X为局部紧空间，则可重新建立一个积分理论。
下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了C0(X)的对偶空间的一个具体实现，C0(X)由X上在无穷远趋于零的连续函数构成。定理陈述中的博雷尔集同样指由开集生成的 σ代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。
定理：设X是一个
局部紧豪斯多夫空间。对 C0(X)上任何
有界线性泛函ψ，存在X上唯一正则概率测度μ使得对所有f∈C0(X)，均有
注：Cc(X)上任何有界线性泛函惟一延拓为C0(X)上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的
闭包。但是Cc(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为C0(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。