阿贝尔变换_恒等式 - 线报百科mbji.cn

阿贝尔变换

恒等式

阿贝尔变换是一个恒等式，它在数学分析中有着广泛的应用。通过阿贝尔变换，可以分别证明任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

阿贝尔恒等式

阿贝尔变换（英语：Abel transformation，有别于Abel transform）也叫分部求和法（英语：Summation by parts）或阿贝尔引理（英语：Abel's lemma）是求和的一种方法。设和为两个数列，则有

分部求和公式也可被写成比较对称的方式：

积分第二中值定理

积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若g，(f·g)均在[a,b]上Riemann可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

退化态的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：存在[a,b]上的点ξ使

分部积分法

内容简介

分部积分法是种积分的技巧。它是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。

规则

假设与是两个连续可导函数。由乘积法则可知

对上述等式两边求不定积分，移项整理，得不定积分形式的分部积分方程

由以上等式我们可以推导出分部积分法在区间的定积分形式

已经积出的部分可以代入上下限表示为以下等式，

而以上这条等式可以通过函数求导乘积法则，以及微积分基本定理通过以下方式倒推并得以验证

在传统的微积分教材里分部积分法通常写成不定积分形式：

如果更简单些，令、，微分和，就可以得到更常见到的形式：

注意，上面的原式中含有g的导数；在使用这个规则时必须先找到不定积分g，并且积分必须是可积的。

在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达，称为分部求和。

另一可用的表达方式可以将原表达方式里的因子仅写成f和g，但缺点是引进了镶套积分：

这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续是才有效。

在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。

提示：部分积分下面这样更复杂一点的积分运算里也是有效的：

参考资料

最新修订时间：2023-08-22 10:27

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概述

阿贝尔恒等式

积分第二中值定理

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