如果在x=-r处,幂级数收敛,则其和函数在x=-r处
右连续。
若幂级数的收敛半径,则它的和函数由0 到x 可积,且可
逐项积分,即
椭圆函数是从
椭圆积分来的。早在18世纪,从研究物理、天文、
几何学的许多问题中经常导出一些不能用
初等函数表示的积分,这些积分与计算椭圆
弧长的积分往往具有某种形式上的共同性,椭圆积分就是如此得名的。19世纪初,椭圆积分方面的权威是
法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得(A.M.Legen-dre,1752-1833)。他研究这个题材长达40年之久,他从前辈工作中引出许多新的推断,组织了许多常规的数学论题,但他并没有增进任何基本思想,他把这项研究引到了“
山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔,使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色,开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。
微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的
反函数就是
三角函数。不难看出,
椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性,因此,如果考虑椭圆积分的反函数,则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的
反三角函数容易得多,那么对应地研究椭圆积分的反函数(后来就称为椭圆函数)不也应该比椭圆积分本身容易得多吗?
“倒过来”,这一思想非常优美,也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年,却从来没有想到过它。
科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想,需要的并不是知识和经验的单纯积累,不是深思熟虑的推理,不是对研究题材的反复咀嚼,需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力,这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘,凭借这一思想,阿贝尔高屋建瓴,势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质,找到了与
三角函数中的π有相似作用的常数K,证明了
椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的
加法定理,借助于这一定理,又将椭圆函数拓广到整个复域,并因而发现这些函数是双周期的,这是别开生面的新发现;他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——
阿贝尔积分,并获得了这方面的一个关键性定理,即著名的
阿贝尔基本定理,它是
椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于
阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数,则是不久后由黎曼(B.Riemann,1826-1866)首先提出并加以深入研究的。事实上,阿贝尔发现了一片广袤的沃土,他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕,用
埃尔米特(Hermite)的话来说,“阿贝尔留下的后继工作,够数学家们忙上五百年”。
阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。此时他已经把
高斯置诸脑后,放弃了访问哥延根的打算,而把希望寄托在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居
柏林的建议后,便启程前往
巴黎。在这世界最繁华的大都会里, 荟萃着像柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、勒让得、
拉普拉斯(P.S.LapLace,1749-1827)、傅立叶(I.Fourier,1768-1830)、
泊松(S.D.Poisson,1781-1840)这样一些久负盛名的数字巨擘,
阿贝尔相信他将在那里找到知音。
设为一
幂级数,其
收敛半径为R。若对
收敛圆(模长为 R的复数的集合)上的某个复数,级数收敛,则有:。
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知
收敛级数。方法是通过在级数每项后加上项,将
问题转换为幂级数求和,最后再计算 x趋于1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和。
1. 为计算收敛级数,设
2. 为计算收敛级数,设