全纯域是刻画自然边界的域。C中的域Ω称为全纯域，如果不存在比Ω更大的域Ω′(Ω′⊃Ω，Ω′≠Ω)，使得Ω上全部全纯函数都能全纯地开拓到Ω′上去。复平面C上的域都是全纯域，但当n>1时，C中确实存在着非全纯的域。

Ω是V中的一个开集。 对于Ω的任意边界点a，存在Ω上全纯函数 f，f不可以延拓到a，那么就称Ω是全纯域。由单复变函数论的结果，复平面上任何开集都是全纯域。但是对于多复变函数，就不是那么简单了。 比如一个圆环(在高维复空间里)就不是全纯域； 这时圆环上的任何全纯函数都可以延拓到整个多圆柱上。这种现象在复平面上不会发生。我们把这种现象称为Hartogs现象。著名的嘉当定理告诉我们，全纯域就是全纯凸域（一种类似于欧氏凸域的凸包）。全纯域的研究是多复变函数论的重要课题。

全纯域是刻画自然边界的域。C中的域Ω称为全纯域，如果不存在比Ω更大的域Ω′(Ω′⊃Ω，Ω′≠Ω)，使得Ω上全部全纯函数都能全纯地开拓到Ω′上去。复平面C上的域都是全纯域，但当n>1时，C中确实存在着非全纯的域。例如：

就是非全纯域。这是多复变数函数论和单复变数函数论的一个本质差异之处。为了定义全纯凸域，先给出全纯凸包的概念。设Ω是C中的域，K是Ω的一个子集，

K^={z∈Ω||f(z)|≤|f|，ᗄf∈Hol(Ω)}

称为K在Ω中的全纯凸包，其中Hol(Ω)表示Ω上全体全纯函数构成的集合。如果K-⊂Ω且K-是紧的，则称Ω的子集K相对于Ω是紧的，记为K⊂⊂Ω。现在给出全纯凸域的概念。设Ω是C中的域，如果对任意K⊂Ω，从K⊂⊂Ω能推出K^⊂⊂Ω，就称Ω是全纯凸域。

设F是域K的子集，对于K的加法和乘法运算，F也做成一个域，则称F是K的一个子域，K是F的一个扩域，记作K/F，称K/F为一个域扩张。设，E/F和K/E都是域扩张，则称E是K/F的一个中间域。设F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中间域的交仍是K/F的中间域，这个域记作F(T)，称为F添加T所得到的扩域，或称T在F上生成的域。当T= {t1，…，tn} 是K的有限子集时，记F(T)=F(t1，…，tn)，称这个域是在F上有限生成的。特别地，添加一个元素t于F中而得到的扩域F(t)称为F的单扩域。域F的扩域K可以看成F上的向量空间，如果K在F上的维数是有限的，则称K是F的有限次扩域，K/F是有限次域扩张。K在F上的维数记作〔K：F〕，称为K在F上的次数。设E是域扩张K/F的中间域，则〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一个域没有真子域，就称为一个素域，在同构的意义下，只有有理数域Q和以素数p为模的剩余类环Z/(p)是素域。任何一个域F的一切子域的交F0是一个素域，如果F0≌Q，则称F是特征零的，如果F0≌Z/(p)，则称F是特征p的，F的特征记作CharF。设F是域K的子域，α∈K称为F上的代数元，如果存在F上的非零多项式f(x)，使得f(α)=0，否则，则称α是F上的超越元。设K/F是一个域扩张，如果K的每个元都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张，否则称K/F为超越扩张。设K/F是一个域扩张，设A是K中在F上的代数元的全体，则A是K/F的中间域，称F在K中的代数闭包。一个域K称为是代数闭域，如果K〔x〕中每个次数大于零的多项式在K中有一个根。域F的一个扩域Ω称为F的代数闭包，如果 (1)Ω是代数闭域;(2)Ω是F的代数扩域。任何一个域都有一个代数闭包。设E，E′都是域F的扩域，如果E，E′都域F的某个扩域的子域，而且存在E到E′的同构使F中的元不动 (称为F-同构)，则称E与E′在F上共轭，简称F-共轭。设E/F是一个域扩张，如果E/F是代数扩张，而且任意与E是F-共轭的域都等于E，则称E/F是正规扩张。设F是一个域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的扩域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，则称K是f(x)在F上的一个分裂域。域F上的次数大于零的多项式f(x)，如果在F的某个代数闭包Ω内的根都是单根，则称f(x)是可分的，否则就是不可分的。a是域F上的代数元，a满足的最高次项系数为1的最低的多项式称为a的极小多项式。设K/F是一个代数扩张，如果K的每个元素在F上的极小多项式都是可分的，则称K/F是一个可分扩张。只含有限个元素的域称为有限域，有限域的特征必是某个素数p。设F含有q个元素，F的素域p含有p个元素，[F： P] =f，则q=pf。两个有限域同构当且仅当它们有相同的元素个数。设Fg是含有q个元素的有限域，Fg的一切非零元素对于Fg的乘法做成q-1阶循环群，从而有限域的有限次扩域都是单扩域。

全纯函数也叫做解析函数。能局部展成幂级数的函数，它是复变函数论研究的主要对象。解析函数类包括了数学及其在自然科学和技术应用中所遇到的大多数函数，这类函数关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函数在其自然存在的域中代表唯一的一个函数，因此，对解析函数的研究具有特殊的重要性。

对解析函数的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函数理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函数理论的奠基者。1814年他定义正则函数为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函数的定义，只要求函数在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函数的研究。他定义正则函数为可以展开为幂级数的函数，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函数。柯西的方法限于研究完全解析函数的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。

简称多复变。它是研究多个独立复变数的全纯函数性质的学科。单复变函数论是研究复平面及黎曼曲面中的域上的解析函数的性质，多复变函数论则是研究n(n≥2)个独立复变量z=(z1，z2，…，zn)的全纯函数：

的性质。为此，首先要将复平面推广到复欧氏空间，将黎曼曲面推广到复流形及复空间，然后研究它们的域上的全纯函数的性质.出乎意料的是，大多数单复变函数论中的结果，无法平行地推广到多复变函数的情形，在这种情形下，经典问题有什么新提法、新形式和新结果，又有什么新的问题，这正是多复变函数论所要研究的.另一方面，多复变函数论又有着大量的应用。所以多复变数函数论是一个富有生命力的数学分支。

就工具而言，由于多复变函数论中问题的复杂性，所以涉及拓扑、微分方程、微分几何、代数几何、抽象代数、李群和泛函分析，以及实变函数论和复变函数论的大量概念和方法，且有自己独特的处理办法。