关于三维流形的一个重要猜想。它指的是一个三维流形能分割成具有八种标准几何结构之一的子流形。 它是二维曲面单值化定理在三维流形上的一个类似。

威廉·瑟斯顿（Thurston）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形作连通和分解以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。

八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。

1.标准球面 , 具有常曲率

2.欧氏空间 , 具有常曲率

3.双曲空间 , 具有常曲率

4.

5.

6.特殊线性群 的万有覆盖上的左不变黎曼度量

7.幂零几何

8.可解几何

二十世纪八十年代威廉·瑟斯顿证明了这个猜想对 Haken三维流形是对的。2003年左右这个猜想被格里戈里·佩雷尔曼完全证明。

2002年11月他在arXiv发表了一篇文章，这是一系列文章的第一篇。这些文章似乎说明佩雷尔曼证明了几何化猜想，这个猜想的一个特殊情况就是庞卡特猜想。许多人认为，法国数学家昂利·庞加莱于1904年提出的庞加莱猜想是拓扑学最著名的未解决的问题。许多数学家试图证明这个问题，克莱数学学院为它的解决出赏金一百万美元。

佩雷尔曼的解题方案在于使用里奇流来改变理察·哈密顿的几何化方法。与直接的拓扑学方案相比，这个方案似乎更可行。数学界经过反复的检查，最终认为他的证明没错。

1990年代初他拒绝接受欧洲数学协会的奖金，有人说他是“非常不物质主义”。他也不打算将他的证明发表在任何同行评审的数学杂志上，而在一份同行评价的杂志上发表其证明是获得该奖金的条件之一。另一方面其他数学家对他在预印本文献库上发表的文章的检查已经远超过了杂志中的同行评价，该奖金的委员会表示在这种情况下它可能修改获得奖金的条件，对预印本文献库来说，这是一个非常重要的步骤，因为它将arXiv预印本文献库提高到与传统出版物相同的地位。

2005年底，他辞去了斯捷克洛夫数学研究所工作，住在圣彼得堡其母亲的公寓，以他母亲的退休金和他的积蓄为生。

2014年7月，有数家俄罗斯媒体报导，佩雷尔曼前往瑞典生活，取得十年工作签证，在一间奈米科技公司工作，不过仍然保留俄罗斯公民身份。

庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。

在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想：

任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。

该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，已经知道，它对于任何维数都是对的。

再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型称为怀特海流形。

1950和1960年代，又包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖。

2006年6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。据报道，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。

2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。”，因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。此文发表后，引发了很大争议。丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉弥尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。

一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。