同伦论是拓扑学的重要概念。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间y的连续映射f，g是同伦的，是指在y中可将f 连续形变成 g，设都是连续映射，，若存在连续映射，使得对所有，

则称f和g是同伦的映射，记为称H 为从f到g的一个同伦或伦移，这时的，若对所有t，同伦都是X到Y的同胚，则称f合痕于g。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合c(x，y)上的一个等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

代数拓扑学中研究与连续映射的连续形变有关的各种课题，是代数拓扑学的一个主要组成部分。同伦概念的直观解释就是连续变形，以此为基础定义的基本群被称为同伦群。最早论及同伦群的是法国数学家儒勒·昂利·庞加莱，他于1895年引进的复形基本群被称为第一同伦群。1912年荷兰数学家布劳威尔引入同维流形之间映射的度以研究同伦分类，开创不动点理论。20世纪20年代德国数学家霍普夫探讨了球面同伦理论。20世纪30年代波兰数学家胡雷维奇建立了群的同伦理论，引进拓扑空间的n维同伦群。另一位波兰数学家博苏克于1936年定义了从拓扑空间到n维球面的映射类的和，由此得到博苏克上同伦群。20世纪40年代原苏联数学家列夫·庞特里亚金给出从(n+k)维球到n维球的映射同伦分类，被称为庞特里亚金类。20世纪50年代初，法国数学家让-皮埃尔·塞尔提出了研究同伦群的新方法，利用纤维化的谱序列，取得了球面同伦群计算的突破性进展。20世纪50年代末英国数学家J.F.亚当斯提出新的谱序列，成为研究同伦论的重要工具。20世纪60年代初广义同调论的发展使同调的问题可以转化为同伦的问题，从此代数拓扑学的这两个主要分支统一起来，共同获得重大发展。

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0与映射idx同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)idx≃0，即恒同映射idx零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

设A是空间X的子空间，i：A→X表包含映射，若存在连续映射r：X→A，使得r|A=idA(或r·i=idA)，则r称为X到A的保核收缩，A称为X的收缩核。若有保核收缩r：X→A满足i·ridx：X→X，则H称为X到A的形变收缩，A称为X的形变收缩核，若同伦H还满足对任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，则H称为X到A的一个强形变收缩，A称为X的强形变收缩核。强形变收缩是形变收缩，且若A是X的形变收缩核，则内射i：A→X是同伦等价。

两个拓扑空间X和Y同伦等价的充要条件是：存在空间Z，使得X与Y分别同胚于Z的两个强形变收缩核。

伦型相同的拓扑空间所共有的性质称为同伦不变量。由于同胚的空间必同伦，故同伦不变量一定是拓扑不变量。代数拓扑学主要研究空间的同伦。

设A为空间X的子空间，序偶 (X，A) 称为空间偶，连续映射f： X→Y，把A映到Y的子空间B内，则记f：(X，A)→(Y，B)。若有连续映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=idx，f·g=idY，则f为空间偶的同胚。同样有偶的同伦的概念。若有偶的同伦：fg：(X，A)→(Y，B)满足：对任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，称f和g相对于A同伦，记作：

当A为空集∅时，相对同伦就是一般同伦。设A⊂X，则A是X的强形变收缩核的充要条件是：存在收缩映射(保核收缩)r：X→A使得ir≃idx：X→XrelA，其中i：A→X为内射。

同伦映射是拓扑学的重要概念。直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射f，g是同伦的，是指在Y中可将f连续形变成g。设f，g：X→Y都是连续映射，I=[0，1]，若存在连续映射H：X×I→Y，使得对所有x∈X，

则称f和g是同伦的映射，记为fg：X→Y，称H为从f到g的一个同伦或伦移，该同伦也可记为H：fg。有时记H(x，t)≡ft(x)，这时的f0=f，f1=g，若对所有t，同伦ft都是X到Y的同胚，则称f合痕于g.应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合C(X，Y)上的一个等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

现代数学的重要的分支学科。它研究几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换(称为同胚)之下保持不变的性质。理解的广泛些，它是研究数学中连续性现象的学科。

拓扑学萌芽很早，但直到19世纪末才开始从不同的方面正式形成学科。20世纪末，拓扑学已发展为现代数学的一个庞大的学科，包括作为现代数学的基础的拓扑空间理论为核心内容的一般拓扑学，运用抽象代数的概念和方法为工具的代数拓扑学，进而派生出以流形为主要对象的微分拓扑学以及几何拓扑学等方面。拓扑学可简称为拓扑，但拓扑一词还可作为拓扑空间中的拓扑结构理解。

拓扑学最初被称为形势几何学(geometria situs)，这是莱布尼茨(Leibniz，G.W.)于1679年提出的，他预见到所称的组合拓扑学。最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式.欧拉(Euler，L.)于1750年发表了任何闭的凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法，它是一个拓扑不变量，称为欧拉示性数.据史学家考证，笛卡儿(Descartes，R.)在1639年就知道它，并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果。另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决，欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图，并给出了一般性的解答.德国数学家高斯(Gauss，C.F.)于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系，他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。利斯廷(Listing，J.B.)于1848年第一次采用了拓扑学一词，其实他认为宁愿用形势几何，只是已被别人采作他用.黎曼(Riemann，B.)于1851年定义了黎曼面，引进了连通性和亏格，实际上解决了可定向闭曲面的分类问题，给拓扑学的建立以巨大的推动。1858年，默比乌斯(Mo¨bius，A.F.)和利斯廷独立地发现了单侧的曲面，现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义。贝蒂(Betti，E.)于1870年定义了高维的连通性。若尔当(Jordan，C.)于1887年提出曲线定理，但证明是错的，直到1905年才得证。

拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱(Poincaré，H.)实现的。他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文，然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至隐含着上同调；建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形，并提出了著名的至今尚未解决的庞加莱猜想：基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础，其思想之丰富，观念之深刻，影响之深远，一言难尽，但不够严密或缺乏证明，后来的进展正是从此入手，将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学，进而发展出微分拓扑学等学科和分支。

拓扑学的另一个渊源是分析学的严密化.实数的严格理论以及傅里叶级数惟一性的讨论推动着德国数学家康托尔(Cantor，G.)从1872年起系统地展开了欧氏空间中点集的研究，得出极限点、导集等概念，进而得到开集、闭集、稠密性和连通性等概念，并从欧氏空间的点集发展为一般的集合论以及超限基数和序数的理论。这一革命性的进展结合19世纪另一由非欧几何引起的革命性的进展——数学公理化的潮流，产生了抽象空间的研究。弗雷歇(Fréchet，M.R.)于1906年定义了度量空间，豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年出版了《集论大纲》，用开邻域定义了一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。随后，对拓扑空间的基本性质如分离性、紧致性、连通性和维数等开展了系统研究，至20世纪30年代中期后，开展了关于一致性和仿紧性的研究，到20世纪50年代初，度量化问题获得基本解决，此时，一般拓扑学已发展成熟，并且其基本理论已成为现代数学的共同基础。