在数学中，平方可积函数是绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数，又称二次积分函数。一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是勒贝格可积的。要想使其为真，实部的正和负的部分的积分都必须是有限的，虚部也是如此。

若 ，则我们说 在实直线 上是平方可积的。平方可积一词也可以用于有限区间如[0,1]。

一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是勒贝格可积的。要想使其为真，实部的正和负的部分的积分都必须是有限的，虚部也是如此。

通常这个术语不是指某个特定函数，而是指几乎处处相等的一组函数。

平方可积函数（这里的“函数”实际上意味着几乎处处相等的一组函数）通过内积构成一个内积空间， 其中

（1） 和 都是平方可积函数；

（2） 是 的复共轭；

（3） 是积分区间——在定义的第一种情况中， 就是 ，第二种情况中， 是 。

由于 ，平方可积性之要求也即

可以证明，平方可积函数在上述定义的内积导出的度量下构成一个完备度量空间。完备度量空间也被称柯西空间，因为在这样的度量空间中，数列收敛当且仅当其为柯西序列。由一个范数导出的度量下的完备空间是巴拿赫空间。因此，平方可积函数的空间是由该范数导出的度量下的巴拿赫空间，而范数又是由内积导出的。由于内积的补充性质，这（空间）其实就是一个希尔伯特空间，因为空间在由内积导出的度量下是完备的。

在数学中，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

在一个实向量空间或复向量空间H上的给定的内积 < x,y > 可以按照如下的方式导出一个范数（norm）：

如果其对于这个范数来说是完备的，此空间称为是一个希尔伯特空间。这里的完备性是指，任何一个柯西序列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。

任何有限维内积空间（如欧几里德空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值。

内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。

在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

设{xn}是距离空间X中的点列，如果对于任意的ε>0，存在自然数N，当m,n>N时，|xn-xm|<ε，称{xn}是一个Cauchy列。

1.对于在某度量空间内的柯西序列，它的极限不一定在相同的度量空间内。如有理柯西序列可导出无理极限。（事实上，一种实数构造就是用这种方法）

2.任何收敛列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。