在同调代数中，内射对象与投射对象是内射模与投射模在阿贝尔范畴中的推广，二者的定义相对偶。

在同调代数中，内射对象与投射对象是内射模与投射模在阿贝尔范畴中的推广，二者的定义相对偶。以下固定一个阿贝尔范畴。

若对象使得函子为正合函子，则称为投射对象。

若对象使得函子为正合函子，则称为内射对象。

若对每个对象都存在投射对象及满射，则称有充足投射元。若对每个对象都存在内射对象及单射，则称有充足内射元。对于有充足投射元（或内射元）的阿贝尔范畴，可以考虑对象的投射分解（或内射分解）。

同调代数是数学的一个分支，它研究同调与上同调技术的一般框架。同调代数是一门相对年轻的学科，其源头可追溯到代数拓扑（单纯形同调）与抽象代数（合冲模）在十九世纪末的发展，这两门理论各自由庞加莱与希尔伯特开创。

同调代数的发展与范畴论的出现密不可分。大致说来，同调代数是（上）同调函子及其代数结构的研究。“同调”与“上同调”是一对对偶的概念，它们满足的范畴论性质相反（即：箭头反向）。数学很大一部分的内在构造可藉链复形理解，其性质则以同调与上同调的面貌展现，同调代数能萃取这些链复形蕴含的资讯，并表之为拓扑空间、层、群、环、李代数与C*-代数等等“具体”对象的（上）同调不变量。谱序列是计算这些量的有力工具。

同调代数肇始即在代数拓扑中扮演要角。其影响日渐扩大，目前已遍及交换代数、代数几何、代数数论、表示理论、算子代数、偏微分方程与非交换几何。K-理论是一门独立的学科，它也采用同调代数的办法。

在数学中，阿贝尔范畴（或称交换范畴）是一个能对态射与对象取和，而且核与上核存在且满足一定性质的范畴；最基本的例子是阿贝尔群构成的范畴Ab。阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。

一个范畴若满足下述条件，则称阿贝尔范畴：是加法范畴，所有态射皆有核与上核，所有态射皆为严格态射。只满足前两个条件者称作预阿贝尔范畴。

若取为一交换环，则在上述定义中以k-加法范畴代换加法范畴，便得到k-阿贝尔范畴之定义。

在范畴论中，正合函子（或译作恰当函子）是保存有限极限的函子。在阿贝尔范畴中，这就相当于保存正合序列的函子。

设为阿贝尔范畴，为加法函子。若对每个正合序列

取后得到的序列

仍为正合序列，则称为正合函子。

由于正合序列总能拆解为短正合序列，在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外，若对每个短正合序列，其像截去尾端零对象后为正合序列，则称是左正合函子；类似地，若为正合序列，则称是右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。