斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

斐波那契数列是指这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和。

在数学历史上，欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契(L．Fibonacci，1170一1250)。他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经[xq2] 》，也翻译成《算盘书》。这部很有名的著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法、开方法、二次和三次方程以及不定方程。特别是，在1228年的《算经》修订版上载有如下“兔子问题”：

如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄 一[xq3] 雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个 月[xq4] 以后便能每月生一对小兔子.假定[xq5] 这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少 对[xq6] 兔子呢？ 解释说明为：一个月[xq7] ：只有一对兔子；第二个月： 仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子， 共有 1+1=2 对兔子.第四个月[xq8] ：最初的一对兔子又生一对兔 子，共有 2+1=3 对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的 对数分别是,0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， ……，后 人[xq9] 为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契， 将这个兔子数 列[xq10] 称为斐波那契数列， 即把,0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……这样的数列称为斐波那契数列。

斐波那契数列,0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…… ，以如下被以递归的方法定义：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，显然这是一个线性递推数列。

⑴

如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。且由上式得到的值必为正整数。

注：此时

⑵

（1）方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

解得：

则：

由公式

得：

解得

（2）方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数，

使得

则

时，有：

联立以上个式子，得：

上式可化简得：

那么：

（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。

， 的解为，

则

（3）方法三：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）

设

得

构造方程

解得

所以：

由(1)、(2)式得：

令：

化简可得：

（4）方法四：母函数法

对于斐波那契数列，有:（）

令

那么有：

因此.

不难证明：

因此

再利用展开式

于是就可以得

其中

因此可以得到：

从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，……），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。

如：第二项 1 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 2 的积 2 少 1，第三项 2 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 3 的积 3 多 1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项 1 开始数，第 4 项 5 是奇数，但它是偶数项，如果认为 5 是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合中所有不包含相邻正整数的子集个数。

如果，，，，……，则有：

因，，则有：

这样一个完全是自然数的数列，通项公式是用无理数来表达的。而且当 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）。

……

……

……

越到后面， 的比值越接近黄金比。

证明：由，两边同时除以由 得到：

若的极限存在，设其极限为 , 则

将杨辉三角左对齐，成图1所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列 1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。

斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式：

斐波那契数列的整除性与质数生成性

每3个连续的数中有且只有一个被 2 整除，

每4个连续的数中有且只有一个被 3 整除，

每5个连续的数中有且只有一个被 5 整除，

每6个连续的数中有且只有一个被 8 整除，

每7个连续的数中有且只有一个被 13 整除，

每8个连续的数中有且只有一个被 21 整除，

每9个连续的数中有且只有一个被 34 整除，

.......

我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是质数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环：

11235,83145,94370,77415,61785,38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…

进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。

斐波那契数列表面看来似乎简单有趣，然而人们发现该数列不仅与黄金分割数，组合数学及概率论等一系列深刻的数学问题关系密切，甚至发现植物枝权与叶序分布、菠萝纹理与蜂房结构等大量的自然现象也遵从斐波那契数列的奇妙构造。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21……

其中百合花花瓣数目为 3，梅花 5 瓣，飞燕草 8 瓣，万寿菊 13 瓣，向日葵 21 或 34 瓣，雏菊有 34、55 和 89 三个数目的花瓣。

斐波那契螺旋：在大自然里存在着许多斐波那契螺旋线形态，向日葵花盘有着两组紧密盘旋的螺旋线，一组按照顺时针旋转的数目为21，另一组按照逆时 针旋转的数目为3 4，正 好是斐波 那契数列中相邻的两个 数且比值接近黄金分割比，而且排列的种子以中心为点四面发散形成的角度接近于黄金角；银河系中的四条主旋臂旋转分开组成大约为12度的角度，它所反映出来的螺旋形状和斐波那契螺旋线几乎完全相同；鹦鹉螺外壳截面形状为典型的斐波那契螺旋形，被认为是以斐氏数列形成的最完美的螺旋线。

事实上许多常见的植物，如我们食用的青菜、包心菜、芹菜等的叶子排列也具有这个特性。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。

这些植物懂得斐波那契数列吗？当然并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小空间却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的)，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222．5度，这个角度被称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1．618033989⋯⋯的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89条，甚至144条。

三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

现有长为 144 cm 的铁丝，要截成n小段（n≥3），每段的长度不小于 1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为：

由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为 1，因此可以放 2 个 1，第三条线段就是 2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为 143，与 144 相差 1，因此可以取最后一段为 56，这时 n 达到最大为 10。

我们看到，“每段的长度不小于 1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1 产生了斐波那契数列，如果把 1 换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，这个143是斐波那契数列的前项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~在FOX 热播美剧《Fringe》中更是无数[xq1] 次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。

卢卡斯数列 1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）

卢卡斯数列的通项公式为

这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），，及

类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。

如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。

斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系：

①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。

如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)，

②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如

黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列

斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，

斐波那契数列：

卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

F[1,4]数列：|4*4-1*5|=11

F[2,5]数列：|5*5-2*7|=11

F[2,7]数列：|7*7-2*9|=31

斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。

而F[1,4]与F[2,5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2,7]也有孪生数列：F[3,8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。

斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。

佩尔数列Pn的递推规则：

据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：，称为广义斐波那契数列。

当时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。

当时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。

当时，我们得到等差数列。其中时，我们得到自然数列1，2，3，4，5…自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为 1（等差数列的这种差值称为自然特征）。

具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列 。

当，时，我们得到等比数列1，2，4，8，16…

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第 10 级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13…… 所以，登上十级，有 89 种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有：

答案是种。

求递推数列的通项公式

由数学归纳法可以得到：，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死：

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对……

依次类推可以列出下表：

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项，即斐波那契数列。