柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。

柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。同时，他们还排除了对土地的投资。这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。

因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。

经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：

这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。用严格的统计学术语来说，就是在5%的显著性水平上，不能拒绝这两者相同的原假设。 从这一结果出发，他们计算出资本的边际产出，即产出P对资本C的导数，为1/4P/C；劳动的边际产出，即产出对劳动L的导数，为3/4P/L。然后，将这些边际产出乘以相应的生产要素量，得到资本的总产出为1/4P，劳动的总产出为3/4P。

他们显然被自己的结论吓坏了。因为他们竟然表示他们自己千辛万苦好不容易得到的这样一个结果是值得怀疑的，强调他们的文章不在于给出结论，而在于演示方法。当然，吓坏他们的，决不是因为他们发现资本也能“创造”价值，而只是因为他们发现产出的大部分，即3/4的产出都应归属于劳动。

继柯布和道格拉斯之后，其他西方学者也对所谓的生产函数进行了实证研究，如霍奇等。霍奇还根据其研究的结果，计算了所谓的最优生产要素配置。根据这一配置，要大大降低劳动要素的投入，增加资本要素的投入，以期获得更高回报。

生产函数模型——经济增长分析

柯布—道格拉斯生产函数的基本的形式为：式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人），K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位），α是劳动力产出的弹性系数，β是资本产出的弹性系数，μ表示随机干扰的影响，μ≤1。

从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况，它有三种类型：

①α+β＞1， 规模报酬递增，表明按照现有技术，用扩大生产规模来增加产出是有利的。

②α+β＜1，规模报酬递减，表明按照现有技术，用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

③α+β=1，规模报酬不变，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ=1时，斯诺模型为：

或式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。根据弹性系数的经济意义和数学意义。这里p是产出价格，q是资本价格。当p=q时，它表示对生产技术水平、经营管理水平和服务水平的综合评价，全面反映企业的适应能力、竞争能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。

根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ=1）：

①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。

②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。

③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。

④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。⑤资产产出弹性系数，表示资产投入的变化引起产值变化的速率。

国际上一般取α=0.2～0.4，β=0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可取α=0.2～0.3，β=0.8～0.7。

生产函数介绍

生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。

该生产函数表示在既定的生产技术水平下生产要素组合(X1，X2…Xn)在每一时期所能生产的最大产量为Q。在经济学分析中，通常只使用劳动（L）和资本（K）这两种生产要素，所以生产函数可以写成：Q=f(L，K)。

生产函数的特点

1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。

2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。

生产函数的分类

生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。

1、一种可变投入生产函数

对既定产品，技术条件不变、固定投入（通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动）与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。

2、多种可变投入生产函数

在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。

常见的生产函数

1、固定投入比例生产函数

固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。

2、固定替代比例生产函数

固定替代比例的生产函数表示在每一产量水平上，任何两种生产要素之间的替代比例都是固定的。

3、柯布-道格拉斯生产函数

柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。

柯布—道格拉斯生产函数表明，决定工业发展水平的主要因素是投入的劳动力数和固定资产，以及综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。

柯布—道格拉斯生产函数模型的建立和应用柯布—道格拉斯生产函数模型是广泛应用的一种生产函数。美国科学家道格拉斯和数学家柯布合作，研究了劳动投入与资本投入和产出之间的关系，得出如下柯布—道格拉斯生产函数模型：Y=ax1b1x2b2

柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，对于农业技术经济数量分析具有特殊意义。柯布—道格拉斯生产函数模型具有以下的特点：

1、柯布—道格拉斯生产函数模型中，a，b1，b2是固定参数。

2、可线性化。

3、参数估计和其它代数方程相比，计算比较方便。

4、运用柯布—道格拉斯生产函数模型进行技术经济分析，由于数据特性，计算分析结论更准确。

正是由于这些特点，该模型在农业生产的技术经济分析中得到了广泛的应用。