模形式论是数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的（复）解析函数。因此，模形式论属于数论的范畴。模形式也出现在其他领域，例如代数拓扑和弦理论。

模形式论是更广泛的自守形式理论的特例。自守形式理论的发展大致可分成三期：

一个模形式可视为从所有格 （即： 中的离散加法子群，使得其商群紧致）的集合映至 的函数 ，使之满足下述条件：

1) 若考虑形如 之格，其中 为常数而 为变数，则 是 的全纯函数。

2) 存在常数 （通常取正整数），使得对任何 ，有 。常数k称为此模形式之权。

3) 对于最小非零元与原点距离大于一定值之格 ， 有上界。

当 ，条件二表明 仅决定于 在相似变换下的等价类。这是重要的特例，但是权为零的模形式必为常数函数。若去掉条件三，并容许函数有极点，则存在非常数的例子，称作模函数。

这个状况可以与射影空间 作类比：对于射影空间，我们欲寻找向量空间 上对座标的多项式函数 ，并满足 ；不幸的是，这种函数必为常数。一种办法是容许有分母（即考虑有理函数），则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件 为 ，则满足此条件的函数为 次齐次多项式，对每个固定的 ，这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的 ，我们可以找出构造 上的有理函数所需之分子与分母。

既然 次齐次多项式在 上并非真正的函数，该如何从几何上诠释？代数几何给出了一个答案：它们是 上某个层 的截面。模形式的情形也类似，但考虑的不是 ，而是某个模空间。

每个格 都决定一条复椭圆曲线 ；两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。

每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成 。对一模形式 ，置 。模形式的第二个条件可改写成函数方程：对所有 且 （即模群 之定义），有

例如，取 ：

如果上述方程仅对 内的某个有限指数子群 成立，则称 为对 的模形式。最常见的例子是同余子群 ，以下将详述。

令 为正整数，相应的模群 定义为：

令 为正整数，权为 的 级（或级群为 ）模形式定义为一个上半平面上的全纯函数，对任何

及任何属于上半平面的 ，有

而且在尖点全纯。所谓尖点，是在作用下的轨道。例如当时，代表了唯一的尖点。模形式在尖点全纯，意谓时有界。当此尖点为时，这等价于有傅立叶展开式

其中。对于其它尖点，同样可藉座标变换得到傅立叶展开。

若对每个尖点都有，则称之为尖点形式。使得的最小称作在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式，以区分带极点的一般情形（如j-不变量）。

另一种的推广是考虑某类函数，并将函数方程改写为

上式所取的称为自守因子。若另取适当的，则在此框架下亦可探讨戴德金η函数，这是权等于1/2的模形式。例如：一个权等于、级、nebentypus为（是模的一个狄利克雷特征）是定义于上半平面，并具下述性质的全纯函数：对任意

及属于上半平面的，有函数方程

此外，必须在尖点全纯。

模函数的概念还能做一些推广。

例如，可以去掉全纯条件：马斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函数，但并非全纯函数。

此外，可以考虑以外的群。希尔伯特模形式是个变元的函数，每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代，便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关，而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇。

自守形式的概念可用于一般的李群。