正多胞体是一种四维立体图形（亦叫做“四维多胞体”），相当于三维的正方体、三棱锥、圆柱体，在四维不同角度投影时，会像右图一样“侧翻”。

正五胞体

正五胞体(Pentachoron，5-cell)，又作正四面体锥(hyperpyramid)，4-单形（4-simplex），是正多胞体中最简单的一个。

简介

其施莱夫利符号是{3,3,3}，顶点图(Vertex figure)是正四面体，在正五胞体中每条棱上有三个正四面体

一般而言，它是正四面体的四维类比

施莱格尔投影

把正四面体的投影类比到正五胞体的三维投影上来：

首先在外面做一个正四面体框架，然后找到它的几何中心定一个点，再将这个点向“外面”的四个点连上线，如图1。

但看到这个图你可能不理解这是个什么东西，实际上这只是一个三维的投影（图片嘛，又要把这个三维投影再投影到二维上），正五胞体在我们这个三维世界上是不存在的，但是我们仍然可以去理解，理解四维空间的种种奇特之处。

图1确确实实是表现了正五胞体的三维投影，但实际上它不是平行投影来的，这种投影叫“施莱格尔投影”，是在它的外接球（四维的是外接一个“超球”）上取一点作的透视投影——这个施莱格尔投影的“内部”的那一点看上去比外面四个点明显要小一些。

算上“最外部”的那个四面体，正五胞体一共由五个正四面体组成，也就是有五个“胞”（cell，指组成高维多胞形的三维表面），之后我们就得到正五胞体的一些数据

胞(正四面体)数：5，面(正三角形)数：10，棱数：10，顶点数：5

球极投影

将一个多面体的表面不断膨胀，可以让它的所有表面变成球面。变成一个球后再将球面投影到无穷大的平面上，这就是二维球极投影(如图2)

同样，四维的物体也可以通过球极投影把它的三维表面展现在三维上

。将正五胞体的三维表面不断向它的外部膨胀变成“超球”，再把超球的表面投影进平坦的三维空间。

图2就是正五胞体的三维球极投影，和施莱格尔投影一样，投影中心的那个点实际上比外面四个点要小一点。

二维线架正投影

四维的正五胞体可以不经过三维而直接投影到二维上，但只能表现一些点与线之间的连接关系，如图3

。

实话说这个投影是怎么写入五个点的坐标投影得到的，不过这不重要，作为四维单形的正五胞体就是这么“简单”，作一个正五边形，每两点两两连线，这就是它的二维线架正投影（没错，是正的）

一个四维物体的二维正投影其实不止一种的，不同的投影用来抽象表现这个东西不同的特性，正五胞体的二维投影英文维基上有很多，但为了表现那些特性，或多或少都有几条线段重合，这里略去。

与单形有联系

正八胞体（超正方体）

正八胞体，在几何学中四维方体是立方体的四维类比，四维方体之于立方体，就如立方体之于正方形，四维方体是四维凸正多胞体，有8个立方体胞，立方体维数大于3推广的是超立方体或测度多胞体。

简介

其施莱夫利符号是{4,3,3}

超立方体，又作正八胞体(8-cell,Regular octachoron)，立方体柱(Cubic prism)，4-4边形柱(4-4 duoprism)，是一个四维空间里的几何产物。

需要说一下“超立方体”的英文应该是Tesseract而不是Hypercube，Hypercube在英文维基百科上是指N维立方体（一维的线段，二维的正方形，三维的立方体……）的总称。

施莱格尔投影

对于生活在三维空间的人类来说，四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。

如图4所示的是一个立方体在二维世界中的投影。二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三 维立方体”的神秘图形。他们可以数出这个立方体有8个顶点，12条边，6个面。可以看到图4的样子像是一个大正方形套一个小正方形，那我们用一点类比的思维，把一个大立方体“套住”一个小立方体，这就得到一个超正方体的一种三维投影（当然图5又是它的二维投影）在二维世界里（不考虑时间轴）要把不透明图形简化的只有顶点（二维物体中的零位框架）之后二维（如果存在）小人才能看得到内部，在我们在三维世界里要简化到凌长（三维物体中的一维框架）才能看到物体内部。所以二维小人（如果存在）研究三维立方体只会先把三维立方体的顶点投影在二维平面上，在投影成一条一位的直线。

正如图片的投影中，立方体的六个面也要把最外部的正方形也要算进去，超正方体表面的八个立方体也包括“最外部”的那一个，可以知道，超正方体有8个胞（立方体）、24个面（正方形）、32条棱和16个顶点。

值得说一下的是，在图5中，投影后一大一小两个立方体的边长比正好是3:1，这个是通过计算得到的。

球极投影

将一个立方体的各个表面膨胀，一段时间后会得到一个球。同样的方法，将超正方体的表面膨胀，会得到一个“超球”(Hypersphere)。

当我们置身于超正方体膨胀成的超球中的时候，我们就会看见图片中的这个情景——此时我们置身在“最外部”的立方体（当然是膨胀了的）面上平行投影。

二维线架正投影

四维超正方体不但可以投影到三维，而且也可以直接投影到二维平面上（是直接，不经过三维），但是由于是投影在二维上，会失真得很厉害所以只能够表现一些点与线之间的连接关系

图6是超正方体的二维线架正投影，ABCD分别是四个轴，注意“相邻”两根轴的夹角都是45度的。16个顶点坐标分别是(±1,±1,±1,±1)（下文有简单推导），然后按照给出的一个一个填上去就是的了（方法说上去有点烦，大家可以用几何画板画画这个投影，其实蛮简单的）。

与十六胞体联系

将正八胞体中每个正方体中心作中心所在正方体的正方形面垂线得正十六胞体，正十六胞体作类似处理也可以得正八胞体。

正十六胞体

正十六胞体(Hexadecachoron，16-cell)，是一个四维空间里的几何产物，正多胞体的其中一种，一般视为正八面体的四维类比。

简介

它的施莱夫利符号为{3,3,4}，是超立方体的对偶。

其顶点图是正八面体，正16胞体每条棱上有4个正四面体。

另外，它有下列几种别名：

正四面体反棱柱(Tetrahedron antiprism)、

Tetracross（四维正轴形，没有官方中文翻译）、

4-orthoplex（即正四面体反棱柱，orthoplex和cross都指代同一个多胞体，但意义不同）、

Demitesseract（半截超立方体，指代超立方体每个面上连线得到的东东，没有官方中文翻译）

施莱格尔投影

正八面体我们一定不陌生，但是看过图7的恐怕就不多了。

图7是当一个人对着正八面体的一个面靠近的很近的时候会看到的——准确地说眼睛是在这个正八面体的外接球面上看到的。这就是正八面体的施莱格尔投影。

可以看到这个投影中外面是一个大正三角形，里面是一个小的倒正三角形。

运用类比，把正三角形变成正四面体：一个正四面体和一个倒正四面体，再各自连上线，如图8，这就得到了一个正十六胞体的施莱格尔投影图。细心点数的话可以数得出，图8中有16个四面体（包括最外部的那个），同时我们得到了正十六胞体的一些数据：

胞（正四面体）数：16，面（正三角形）数：32，棱数：24，顶点数：8

球极投影

将正十六胞体的表面膨胀使之成为一个超球，然后投影到三维上，如图8。

二维线架正投影

和超正方体的差不多，不过要简单得多，建立一个平面上的四维投影坐标轴，写入八个点：(±1,0,0,0)(0,±1,0,0)(0,0,±1,0)(0,0,0,±1)即可，如图9所示。

与正八胞体联系

将正十六胞体中每个正四面体中心作中心所在正四面体的正三角形面垂线得正八胞体，正八胞体作类似处理也可以得正十六胞体。

正二十四胞体

正二十四胞体(Icositetrachoron，24-cell)，有时又作复正八面体(Octaplex=Octahedral complex)，表面由24个正八面体构成，是一个四维空间里的几何产物，正多胞体中最特殊的一种，因为它没有三维类比。

简介

它的施莱夫利符号为{3,4,3}，自身对偶

其顶点图是立方体，正24胞体每条棱上有3个正八面体。

施莱格尔投影

严格来说正二十四胞体是没有三维类比的，因此也不好说是根据哪个正多面体的施莱格尔投影类比到三维上来的。

不过只要根据正二十四胞体每条棱上有3个正八面体这个条件在三维空间上画投影就不会太难，如图10。

正二十四胞体的构成数据如下：

胞（正八面体）数：24，面（正三角形）数：96，棱数：96，顶

点数：24

球极投影

将正二十四胞体的表面膨胀使之成为一个超球，然后投影到三维上，如图11。

二维线架正投影

如图12，有线段重合，不太清楚是如何选定坐标的。

联系

无联系与类比

正一百二十胞体

简介

正一百二十胞体（hecatonicosachoron，120-cell），由120个正十二面体胞、720个正五边形面、1200条棱、600个顶点组成，是四维凸正多胞体，正十二面体的四维类比。

它的施莱夫利符号为{5,3,3}，与正六百胞体对偶。

施莱格尔投影

一个有120个正十二面体的多胞体自然不会像正五胞体那样简单，如图13

球极投影

将正一百二十胞体的表面膨胀使之成为一个超球，然后投影到三维上，如图14。

二维线架正投影

需要说的是，图15里橙色的点都是有两个点重叠的。

与正六百胞体联系

将正一百二十胞体中每个正十二面体中心作中心所在正十二面体的正五边形面垂线得正六百胞体，正六百胞体作类似处理也可以得正一百二十胞体。

正六百胞体

简介

正六百胞体（hexacosichoron，600-cell），由600个正四面体胞、1200个正三角形面、720条棱、120个顶点组成，是四维凸正多胞体，正二十面体的四维类比。

它的施莱夫利符号为{3,3,5}，与正一百二十胞体对偶。

施莱格尔投影

与正一百二十胞体一样，正六百胞体的投影也极其复杂，实际上，这是正对着一个顶点投影出来的。（没错，就是最中央的那个点）

球极投影

将正六百胞体的表面膨胀使之成为一个超球，然后投影到三维上，如图16。

二维线架正投影

需要说的是，图17里橙色的点都是有两个点重叠的，黄色的那个点有四个点重叠。

与正一百二十胞体联系

将正六百胞体中每个正四面体中心作中心所在正四面体的正三角形面垂线得正一百二十胞体，正一百二十胞体作类似处理也可以得正六百胞体。

正单形编辑

点、线段、正三角形、正四面体、正五胞体……用这种方法一直类比下去，得到的所有东西集合在一起，就是正单形。

单形的介绍

单形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是简单的复杂(Simplicial Complex，*.*)，说白点就是复杂空间（高维空间）的简单的东东——可以说，一个单形的确是该空间中构造最简单的东西。

正单形的定义

在一个n维空间中找到n+1个点，使这些点满足每两个点距离相等，那么利用这些点就可以得到一个n维正单形(n-simplex)

通俗地说，正三角形就是二维正单形，正四面体就是三维正单形，正五胞体就是四维正单形。

需要说一下，这个“单形”可不是百度百科上的“晶体单形”，很多网站和网友（包括视频“教你认识四维空间”）所说的单形指的是四维的单形——五胞体，这里需要指正一下。单形应该是一个集合。