殆复结构,也称近复结构,它是
殆复流形上的一种特殊结构。殆复流形是一个在每一个点的切空间上有个光滑的线性的复结构的光滑流形。流形有殆复结构是一个流形是殆复流形的必要不充分条件。每一个复流形都是一个殆复流形,殆复流形在辛几何中有重要应用。殆复流形这个概念是在20世纪40年代由Ehresmann和Hopf提出的。
2维实流形上若有(1,1)型张量,使任取,为的点的切空间上的线性同构,且,则称为殆复结构,而称为
殆复流形。
若V为复向量空间的
底空间,则定义了V上一个殆复结构。反之,V上一个殆复结构也可使V为复向量空间的底空间。
V的殆复结构诱导出V上自然的
定向。若V有殆复结构,则其维数必然为偶数。故殆复流形必是偶数维的
可定向流形。但是,偶数维和可定向的条件并不足以保证流形有殆复结构.例如,埃雷斯曼(Ehresmann, C.)和霍普夫(Hopf , H.)证明了四维球不能有殆复结构.
每个
复流形都是一个殆复流形,但是具有殆复结构的微分流形并不一定是复流形;
若和分别表示和上的自然殆复结构,从到上的光滑映射保持殆复结构的
充分必要条件为:是一个
全纯映射。