维数论
欧几里得空间的维数概念的推广
维数论(dimension theory)欧几里得空间的维数概念的推广。对于某些拓扑空间指定一个非负整数,称为该空间的维数。
概念解释
维数论是欧几里得空间的维数概念的推广。对于某些拓扑空间指定一个非负整数,称为该空间的维数。此外,对空集指定为-1,而对“无限维”空间指定为。拓扑空间的维数有三种不同方式定义,即覆盖维数(dim)、小归纳维数(inddimension theory)和大归纳维数(Ind)。它们都具有维数的特征, 但适用的范围不同,分别是吉洪诺夫空间、正则空间和正规空间。
概念发展
维数最初是对紧可度量化空间引入的, 其后扩张到可分可度量化空间。对于可分可度量化空间维数论的基本定理,在所有度量空间或紧空间中并不成立。因此,对于一般拓扑空间有三个维数论。庞加莱(J.H.Poincaré)于1912年略述了维数的归纳性定义。
维数函数的第一个精确定义是由布劳威尔(L. E. J.Brouwer)于1913年叙述的。布劳威尔的维数函数与维数Ind在局部连通紧可度量化空间中是一致的。但是布劳威尔的维数函数仅是 用来证明“若,则空间与不同胚”的一个辅助工具。
维数理论是由门格(K.Menger,)和乌雷松(ypwcon,II. C.)首创的。
ind的定义是乌雷松于1922年和门杰于1923年给出的。Ind的定义是切赫 (Cech,E.)于1931年给出的。覆盖维数dim定义于切赫于1933年的论文中。由切赫给出的dim定义仅适用于正规空间。卡切托夫(M.Katêtov)于1950年修改了这个定义。斯米尔诺夫(M.Cmhpiiqb)于 1956年研究了另一类覆盖导出同样的维数函数。吉洪诺夫空间的维数论最早系统的讲解是在吉尔曼 (L.Gillman)和杰里逊(M.Jerison)于 1960 年的著作中。
标准维数
设是复簇,ψ:是亚纯映射,G⊂是它的图象。如果射影也是固有变形,则ψ叫作双亚纯映射。对于一个n维紧复流形V,我们定义V的小平维数(或标准维数)如下:设K是V的标准丛和。如果不空,设d是的最大公因数,则存在一个正整数,正数α,β和非负整数k,对于,有下列不等式:,而。我们确定,如果为空集,我们定义。k(V)是V的一个双亚纯不变量,取下列数值之一:。如果k(V)是正的,则存在一个复流形的纤维空间,使得:
1、双亚纯等价于V;
2、W是维数为k(V)的非奇射影族;
3、f是一个满射和正常解析映射;
4、任意一般纤维是不可约的;
5、。
而且这样的纤维空间在双亚纯等价下是唯一的。
注意:小平维数(标准维数)在一般情形下不是变形的不变量。
参考资料
最新修订时间:2024-01-24 11:37
目录
概述
概念解释
概念发展
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