自守函数(automorphic function)是圆函数、双曲函数、椭圆函数等概念的推广.设X是Cn中有界连通开集,G是X赋以紧开拓扑后的自同构(即双全纯双射)群,Γ是G的离散子群,若一个亚纯函数f在Γ作用下不变,则称为(关于Γ的)自守函数.若存在一个Γ×X到C的函数α(r,z),它关于z∈X全纯,且处处非零,使得对每个γ∈Γ有:f(γ,z)=α(r,z)f(z)(z∈X),则称f为(关于Γ的)自守形式,α被称为自守因子,它应满足关系α(γγ′,z)=α(γ,γ′z)α(γ′,z)(注意:这里f通常要求是全纯的,并且f在尖点处的性态要有一些适当的条件)。

自守函数与自守形式的研究历史很久,早在高斯(Gauss,G.F.)就有了初步的概念,但他没有发表这些结果,直至19世纪60年代才被重新发现和研究.第一个系统地研究并形成理论的是庞加莱(Poincaré,(J.-)H.),他关于单变量自守函数理论的工作被誉为是划时代的,极大地推动了解析函数论的发展.西格尔(Siegel,C.L.)则创造性地把单变量的研究推广到多变量情形,这并不是一件自然的事情,这一工作对多复变函数论的发展起了极大的促进.盖尔芳特(Gelfand,I.)和塞尔贝格(Selberg,A.)从酉表示的观点来研究自守函数和自守形式,这一思想极大地开拓、丰富、发展了自守函数和自守形式理论,近年来,朗兰兹(Langlands,R.)进一步发展了这一思想,他在这方面的结果和想法,更是涉及到数学的几乎每一个分支,特别对数论、代数几何、非交换调和分析和自守函数与自守形式理论本身等学科的发展产生了极其深远的影响.自守函数与自守形式的研究已成为现代数学的中心课题之一.

复变函数理论是庞加菜早期数学工作中成果最丰富的研究领域之一。1881一1883年．他在《科学院报告周评》上发表了14篇题为《论富克斯函数》(Sur les fonctions fuchsiennes)的论文.j这些论文引入一类称为自守函数的特殊函数．自守函数可以写为

庞加莱用德国数学家拉扎勒斯·富克斯(LazarusFuchs)的名字来命名这些函数，因为是富克斯的工作引导庞加莱做出这些发现。自守函数是发现的第一类无穷周期函数簇特例，无穷周期函数是指存在无穷多常数k使得f(z)=f(z+k)，它们极大地扩展了简单三角周期函数和双周期椭圆函数的概念。庞加莱还将自守函数群的代数性质与相应基本域的几何性质联系起来，并在二者之间建立起关系。

庞加莱的相关论文《富克斯函数论文集》(Mémorie sur lesfonctioins fuchsiennes)出现于1882年的《数学学报》上，其中，他引入了一类无穷求和，即所谓的θ级数，这个级数等于一个自守函数所有周期的和。庞加莱在论文中分析了级数的收敛性，它们导数之间的关系以及对应区域的几何性质。在稍晚的论文中，他将这一概念扩展到θ富克斯函数和ζ富克斯函数，这些函数是由自守函数及其导数组合得到的。由于对自守函数的广泛研究，庞加莱于1887年当选为科学院成员，年仅32岁。

1883年，庞加莱的论文《论整函数》(Sur les functions entières)发表在《法国数学协会报告》(Bulletin de la SociétéMathématique deFrance)上。他在论文中建立起整函数的数个性质，所谓整函数，是指导数在复平面上任意点都存在的函数。庞加莱研究了整函数的一个几何性质亏格以及表述整函数的无穷级数，他给出了亏格与相应级数系数之间的关系。庞加莱还确立了一般单值化理论，这个理论给出了当何种条件满足时，整函数对应的曲面可以和一个更简单的几何曲面联系起来。

庞加莱将自己的复变函数研究推广至多变量函数情况，建立起研究多变量复变函数理论的基本方法。1883年，他与同胞埃米尔·皮卡德(Emile Picard)一同在《周评》上发表论文《论关于存在2n周期系统的具有n个独立变量函数的黎曼定理》(Sur un théorèmede Riemann relatif aux fonctions de n variables indépendantes admettant2n systèmes de périodes).两人证明，一类名为亚纯函数的特殊双变量函数只能出现于两个自守函数相除时．在此后一些关于多复变量函数的论文中．庞加莱研究了一系列概念，如多重调和函数，保角变换和复函数积分的留数。与自守函数的工作不同，庞加菜在整函数和多复变量函数方面作出的贡献打开了新研究领域的大门．相关领域的研究成果丰富．并一直持续到如今。