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高斯映射

数学术语

高斯映射是从欧氏空间R3中的一个曲面到单位球面S2的一个映射，以卡尔·弗里德里希·高斯命名。

定义

在微分几何里，高斯映射是从欧氏空间R3中的一个曲面到单位球面S2的一个映射。高斯映射是以卡尔·弗里德里希·高斯命名。

给出R中的曲面X，高斯映射是一个连续映射N:X→S，使得N(p)是在点p上正交于X的单位向量，就是曲面X在点p处的法向量。

高斯映射可以在曲面的整体上定义，当且仅当曲面是可定向的，此时其映射度等于欧拉示性数的一半。无论何时高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小块上）定义。高斯映射的雅可比行列式等于高斯曲率，而高斯映射的微分称为形状算子。

高斯以此为题在1825年写了一份初稿，并在1827年发表。

全曲率

高斯映射的像的面积称为全曲率，等于高斯曲率的曲面积分。这是起初高斯所给出的诠释。高斯-博内定理将曲面的全曲率和曲面的拓扑性质联系起来：

推广

高斯映射可以定义在Rn中的超曲面上，从超曲面映射到Rn中的单位球面Sn-1。

参考资料

最新修订时间：2023-01-08 09:16

条目作者

概述

定义

全曲率

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