在数学中,一个凯勒流形(Kähler manifold)是具有满足一个
可积性条件的酉结构(一个U(n)-结构)的流形。特别地,它是一个
黎曼流形 、
复流形以及
辛流形,这三个结构两两相容。
若没有任何
可积性条件,类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的(但复结构不要求),则这个概念是殆凯勒流形;如果复结构是可积的(但辛结构不要求),则为
埃尔米特流形。
凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名,在代数几何中占有重要的地位:它们是复
代数簇的一个
微分几何推广。
凯勒流形可以多种方法刻画:它们通常定义了具有一个附加结构的复流形(或具有附加结构的辛流形,或具有附加结构的
黎曼流形)。
复流形 M 上一个凯勒度量是
切丛 上一个
埃尔米特度量,满足一个有多种等价刻画的条件(最几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性
映射)。利用局部坐标它规定如下:如果
是
埃尔米特度量,则伴随的凯勒形式定义为(在差一个因子i/2 的意义下)
对某个函数 K,称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题,特别是典则度量(包括凯勒-爱因斯坦,常数量曲率凯勒度量和极值度量)的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展,近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注,属于微分几何中的中心问题之一。
一个凯勒流形,伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦(Kähler-Einstein,有时也叫爱因斯坦-凯勒)的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例, ,对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。
3、
黎曼曲面上每个黎曼度量是凯勒的,因为ω闭的条件在(实)2 维是
平凡的。
4、复
射影空间 有一个齐性凯勒度量,富比尼–施图迪度量。向量空间 上一个
埃尔米特形式定义了GL(n+1,C) 中一个酉子群;一个富比尼–施图迪度量在差一个位似(整体缩放)的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定;由初等线性代数,任何两个富比尼–施图迪度量在 的一个投影自同态下是等距的,故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。
5、一个凯勒流形的复流形上的诱导度量是凯勒的。特别地,任何
施坦流形(嵌入 )或
代数簇(嵌入 )是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。