③e>1，轨迹为双曲线。
该定义只适用于圆锥曲线的主要情形（椭圆、双曲线、抛物线），因而不能算是圆锥曲线的完整定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。
（二）一、二次曲线的统一定义
（《
数学通报》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师胡新平将焦点--准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义）
平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N（称为参数点）是直线l上一动点，轨迹动点M同时满足下列两条件：
（Ⅰ）动点N与动点M到定直线m的有向距离Nm与Mm有
Nm=（1+t）Mm，其中t为实常数；
（Ⅱ）动点M到定点F的距离|MF|与到动点N的距离|MN|有
|MF|=e|MN|，其中e为非负常数，
则在直角坐标变换观点下，动点M的轨迹是一、二次曲线
（约定e=1，|t| =1，p=0不同时成立）。
点M的轨迹具体情形如下：
（A）p≠0时：含六类一、二次曲线类。
e≠0时，
（1）当e=1，|t|=1时，轨迹是一条直线（EF的
垂直平分线）；
（2）当e=1，|t|≠1时，轨迹是抛物线；
（3）当e<1，e|t|<1， 或e>1,e|t|>1时，轨迹是椭圆．其中|t|=1时是圆；
（4）当e≠1，e|t|=1 时，轨 迹 是 两 条 平 行直线；
（5）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是双曲线；
e=0时，轨迹是一点
（B）p=0时：含三类一、二次曲线类。
（1）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是两条相交直线；
（2）当e=1，e|t|≠1时，或e≠1，e|t|=1时，轨迹是两条重合直线；
（3）当e<1，e|t|<1，或e>1，e|t|>1时，轨迹是一点．
称其中的定点F和定直线l为对应轨迹曲线的拟焦点和与拟焦点F相应的拟
准线。
射影观点
在射影平面内，两个不同中心的射影线束，其对应直线的交点的轨迹是一条圆锥曲线。两个不同底的射影点列，其对应点的连线的
包络是一条圆锥曲线。
所谓的射影线束是指，给定两个中心O、O'，从O和O'各自引出4条直线a、b、c、d和a’、b'、c'、d'。如果这4条直线的
交比对应相等，即(ab,cd)=(a'b',c'd')，那么称这两个线束互为射影线束。射影线束的对应直线（上例中的a和a'，b和b'，c和c'，d和d'）的交点一定位于某圆锥曲线上。
同理，所谓的射影点列是指，给定两条底o、o'，在o和o'上各自取4个点A、B、C、D和A'、B'、C'、D'。如果这4个点的交比对应相等，即(AB,CD)=(A'B',C'D')，那么称这两个点列互为射影点列。射影点列的对应点（上例中的A和A'，B和B'，C和C'，D和D'）的连线一定与某圆锥曲线相切。
概念
（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点——准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）
考虑焦点——准线观点下的圆锥曲线定义。
焦点
准线
离心率
固定的常数（即圆锥曲线上一点到
焦点与对应
准线的距离比值）称为圆锥曲线的
离心率。
焦准距
焦半径
弦和焦点弦
类似圆，圆锥曲线上任意两点之间的连线段称为弦；过焦点的弦称为
焦点弦。平行于准线的焦点弦称为
通径，物理学中又称为
正焦弦。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线是轴对称图形，对称轴为过焦点且与准线垂直的直线。在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的
垂直平分线对称，因此椭圆和双曲线有两条对称轴。
Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以
离心率。
Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）
Brianchon定理：圆锥曲线的
外切六边形，其三条对角线共点。
冰淇淋定理（定义的一致性）
由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的
冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的
交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的
垂线（
三垂线定理），而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之
切线，得PE=PF。
如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
性质
椭圆、双曲线、抛物线各自的性质可参考相应词条，现给出一般圆锥曲线的性质。
定理一：平面内五个点，其中任意三个不共线，则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。
定理一‘：平面内五条直线，其中任意三条不共点，则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。
定理二（
帕斯卡定理）：内接于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三组对边交点共线。
定理二‘（
布里昂雄定理）：外切于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三条对角线共点。
定理三（定理二的逆）：如果一六边形的三组对边交点共线，那么这个六边形内接于一圆锥曲线上。
定理三’（定理二‘的逆）：如果一六边形的三条对角线共点，那么这个六边形外切于一圆锥曲线上。
定理四（定理二的极限情况）：圆锥曲线的内接三角形，每个顶点的切线与其对边的交点共线。设△ABC内接于一圆锥曲线，在点A处的切线为a，在点B处的切线为b，在点C处的切线为c。a和BC交于P，b和AC交于Q，c和AB交于R，则PQR三点共线。
定理四’（定理二‘的极限情况）：圆锥曲线的外切三角形，每条边的切点与其对顶点的连线共点。设△ABC外切于一圆锥曲线，BC边上的切点为P，AC边上的切点为Q，AB边上的切点为R。连接AP、BQ、CR，则这三条直线交于同一点。
一、二次曲线的统一方程和性质可以参看《数学通报》2016，12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文。
统一方程
其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。
①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到
准线距离的
抛物线。其中 与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。
②01(g,h)为一个焦点，p为焦点到
准线距离，e为离心率的
椭圆。其中 与极轴夹角α。
③e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到
准线距离，e为离心率的
双曲线。其中 与极轴夹角α。
④e=0时，表示点F(g,h)。
五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。
注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如
圆等。
附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：
判别法
在平面直角坐标系中，方程 ，表示的曲线称为二次曲线，其中a、b、c不同时为零，它共包括如下九类曲线：
在表中已记
I1,I2,I3与J2分别称为二次曲线的不变量(即经过坐标变换后，这些量是不变的)与条件不变量（或半不变量）。
圆锥曲线与直线斜率
高考中经常遇到与两条动直线的斜率和、积、商为定值有关的题目。现以焦点在x轴上的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）来分别研究此类题目的一般做法以及背后隐含的道理。
斜率之和为定值
涉及到斜率之和为定值的，一定与
调和点列有关，即在该类型的题目下一定能找出一组调和点列（调和线束）。而在圆锥曲线中与调和点列相关的只有极点
极线的内容，但由于高考大题不能使用极点极线的方法，所以只通过该方法讲解原理，实际做题中需要用韦达定理或齐次化联立。
（1）两条动直线交点为圆锥曲线上的某个定点
即从圆锥曲线上某一点引出两直线AC、AD，如果CD经过定点B，则kAC+kAD为定值。反之，如果已知kAC+kAD为定值，也能推出CD经过某定点B。
如图，A为圆锥曲线上的定点，A'是A关于x轴的对称点。在过A‘的切线上找一点B，过B作割线CD，连接AC、AD。这就有了两动直线AC、AD，其交点为圆锥曲线上的定点A，且经过定点B。
过B作圆锥曲线的另一条切线BE，切点为E，则A'E是B的极线。
又连接AB，交圆锥曲线于另一点I，连接CI（图中未画出），得到圆锥曲线的内接四边形AICD。设两组对边分别交于B、J（J可以是
无穷远点，即AD∥CI），对角线交于K，根据圆锥曲线内接四边形的调和性质可知JK是B的极线，得到JEKA'共线。
与此同时，BK也是J的极线，于是根据极线的定义可知，J、K、E、A'构成调和点列⇒AD、AC、AE、AA'构成调和线束⇒N、M、Q、P构成调和点列⇒⇒⇒。
因为B是定点，BE是切线，所以E也是定点，所以kAE是定值，所以kAC+kAD为定值。
反过来，若已知kAC+kAD为定值，可以令，得到定直线AE。再过E和A'分别作切线，切线相交于B，则由上述推导可知B是CD经过的定点。
这里特别要注意两种情况：
a.对于有心圆锥曲线（椭圆、双曲线），当时，易证E和A'关于中心对称，因此在E和A'处的切线平行。此时认为这两条切线相交于无穷远点B，CD经过该无穷远点意味着无论CD如何变化，其斜率为定值，且等于E、A'处切线的斜率（因为过同一个无穷远点B的有穷直线均互相平行，而互相平行的直线斜率相等）。
而对于无心圆锥曲线（抛物线），当时AE∥x轴，因此AE和x轴交于无穷远点P。由射影几何的理论可知，P是抛物线与无穷远直线的切点，即AE交抛物线于P，过P的切线是无穷远直线。再过A'作切线时，切线和无穷远直线同样交于无穷远点B，所以依然有CD斜率为定值，且等于A'处切线的斜率。
b.当AE恰好是A处的切线时，此时AE与圆锥曲线只有一个交点A。不妨把这种情况视为A和E重合，于是过E(A)的切线和过A'的切线交于x轴上（也就是直线AA‘的极点）。
（2）两条动直线交点为不在圆锥曲线上的某个定点
与上一种情况有别，这种情况下是过不在圆锥曲线上的定点A作一条直线交圆锥曲线于两个点P、Q，B为定点（不在圆锥曲线上），求证kBP+kBQ为某定值。又或者问是否存在某个定点B使得kBP+kBQ为已知定值。
这里取最简单的情况来分析（事实上高考考得最多的也是这类题）。如图，A是x轴上一定点（不在圆锥曲线上），过A作直线PQ交圆锥曲线于P、Q。B是A的极线上的一定点（注意这是前提条件，B必须在A的极线上，否则kBP+kBQ不是定值），求kBP+kBQ。
设PQ交A的极线于R，则根据极线的定义，P、Q、A、R构成调和点列⇒S、T、A、U也是调和点列⇒⇒⇒。
反过来，若已知kBP+kBQ为定值，可以令，得到定直线AB，AB与A的极线交点就是所求的B。
斜率之积为定值
斜率之积为定值的题目则没有太大限制，因为在
射影几何中，二次曲线的分类由二次曲线和无穷远直线的位置来决定，即通过平移无穷远直线的方式可以让一条二次曲线变成椭圆（和无穷远直线相离）、抛物线（和无穷远直线相切），或双曲线（和无穷远直线相交）。既然平移的是无穷远直线，二次曲线本身无变化，所以可以只以椭圆来探讨其背后的道理。
圆是特殊的椭圆，即圆通过仿射变换可以变成椭圆，所以先研究圆。
（1）两条动直线交点为圆上的某个定点
如图，AB是圆的一条直径，从圆上的定点A引出两条弦AP、AQ。若PQ过AB上的定点M，则kAPkAQ为定值。反之，若kAPkAQ为定值，则PQ经过定点M。
利用三角形面积公式，
。
当AB为x轴时，tanαtanβ恰好就是kAPkAQ。所以当M为定点时，左边比值为定值，所以右边kAPkAQ为定值。反过来，当kAPkAQ为定值时，左边的比值也是定值，于是由
定比分点坐标公式可知M为定点。
（2）两条动直线交点为不在圆上的某个定点
与上一种情况有别，这种情况下是过不在圆上的定点M作一条直线交圆锥曲线于两个点P、Q，N为定点（不在圆锥曲线上）。连接PN、QN交圆于S、T，则直线ST过定点。
乍一看似乎与斜率之积无关，其实不然。证明这个结论需要用到第一种情况。
如图，AB是圆的直径，M、N在AB上，各个交点已经在图中标注好。
为了证明ST过定点（设为K），则只需要证明为定值。
而
根据第一种情况的结论，直线PS、QT过定点N，而PQ过定点M⇒分子分母都为定值⇒ST过定点K。
反过来是不成立的，即无法从PQ过定点M，ST过定点K推出PS、QT交于定点N。这是因为虽然上式中分母和分数值是定值，所以分子也是定值。然而分子是两个数之积，每个因数都可以发生变化，只要相乘不变即可，所以PS和QT都不一定经过定点。
注意：上面的定点M和N都可以不在圆内，可以在直线AB上的任意一个位置（除A、B外），证明相仿，结论相同。
另外，当圆拉伸为椭圆，例如把圆的纵坐标变为原来的t（t≠0）倍时，由于
单比是仿射变换不变量，所以（1）中BM/AM不变。而kAP'=tkAP，kAQ‘=tkAQ，所以有不变。
根据椭圆的第三定义，为定值。而如果M是定点，则kAPkAQ为定值，所以得到kBPkAQ为定值。反之如果kBPkAQ为定值，那也有PQ过定点M。
斜率之比为定值
这是斜率之积为定值情况（2）的重要推论，即在图中有为定值。
证明十分简单，设直线PQ与ST交于点R，过R作RH⊥AB，垂足为H。
根据圆锥曲线内接四边形的性质可知R在N的极线l上。且因为N在AB上，有l⊥AB，所以RH恰好就是N的极线。因为无论R如何变化，垂足H都是不变的。而kPQ=HR/MH，kST=HR/KH，所以有。
K、M、H均为定点，所以比值为定值。
定理介绍
CGY-EH定理（又称
圆锥曲线硬解定理）是一套求解椭圆\u53cc曲线与直线相交时∆、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的
简便算法.
定理内容
若曲线 与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:
定理说明
应用于双曲线 时,应将 代入,同时 不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。
定理补充
联立曲线方程与y=kx+ 是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
若曲线 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,则:
这里的 既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：
若曲线 为椭圆 ,则
若曲线 为双曲线 ,则
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：
联立两方程得……（二次式子）（*）
所以x1+x2=……①，x1x2=……②；
所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)
下面就可求弦长 了。
定理简证
设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：
(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0
x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)
x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)
∆=4mnB^2 (ε-C^2)
对于
等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且 ∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。
由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )
可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)
令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:
x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ∆'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)∆'))/(|ε|)
漫谈
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做
二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个
焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射
人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按
万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由
抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到
单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如
冷却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。
光学性质
椭圆
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，
反射光线都汇聚到椭圆的另一个
焦点上。
双曲线
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线
反射后，反射光线的
反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
抛物线
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束
平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。
应用
如图所示为圆锥曲线中椭圆的应用——回声山谷。在西方某些椭圆
穹顶的大教堂里也有这种现象。
圆锥截面在天文学中是重要的：根据牛顿万有引力定律相互作用的两个巨大物体的轨道是圆锥截面，如果它们的共同质心被认为是静止的。如果它们绑定在一起，它们将跟踪椭圆;如果他们分开，他们将会跟随抛物线或双曲线。看到两体问题。
对于古生物学中的某些化石，了解圆锥截面可以帮助了解某些生物体的三维形状。
圆锥截面的反射特性用于探照灯，
射电望远镜和一些
光学望远镜的设计。使用
抛物面镜作为反射器，在探照灯下使用焦点上的灯泡。在加那利群岛拉帕尔马的4.2米赫歇尔光学望远镜使用主要的抛物面镜将光反射到次级双曲面镜，这反映了它再次成为第一镜后面的焦点。