重要不等式，是指在初等与
高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，
排序不等式、
均值不等式、完全的均值不等式、
幂平均不等式、
权方和不等式、
柯西不等式、
切比雪夫不等式、
琴生不等式等。
柯西不等式
⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai2） * （∑bi2） ≥ （∑ai * bi)2.
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)
我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)2 = （∑bi2） * x2 + 2 * （∑ai * bi) * x + (∑ai2）
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用
二次函数无
实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)2 - 4 * （∑ai2） * （∑bi2） ≤ 0.
⑵用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式在求某些
函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=（1+1+1）×（1+1+1）
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）（1+1+1）=9
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到
柯西不等式的证明及应用的具体文献．
排序不等式
设有两组数 a1,a2，…… an，b1,b2，…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an，b1 ≤ b2 ≤……≤ bn 则有 a1bn + a2bn-1 +……+ an b1≤ a1bt + a2bt +……+ anbt ≤ a1b1 + a2b2+……+ anbn，式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a1 = a2 =……= an 或 b1 = b2 =……= bn时成立。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
证明：其余不变时，将a1b1 + a2b2 调整为a1b2 + a2b1 ，值变小，只需作差证明（a1 -a2）*（b1 -b2）≥0，这由题意可知成立。
亦可用以下方法：
设c1，c2，...,cn是a1，a2，...,an的任意一个排列，Si=c1+c2+...+ci，Ti=a1+a2+...+ai，其中i≤n。
显然，Si≥Ti,a1*bn+a2* bn-1+...+an* b1=(T2-T1）*bn+(T3-T2）*bn-1+...+(Tn-Tn-1）*b1=Tn*b1-Tn-1*(b1-b2）-...- T1*(bn-1-bn）≤Sn*b1-Sn-1*(b1-b2）-...-S1*(bn-1-bn)=(S2-S1）*bn+（S3-S2）*bn-1+...+(Sn-Sn-1)*b1=c1*a1+c2*a2+
...+cn*an.这样就证明了 反序和≤乱序和。
同理可证：乱序和≤同序和。
切比雪夫不等式
⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi）
⑵设存在数列a1,a2,a3,.....,an和b1,b2,b3,......,bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi）
琴生不等式
1.若
是区间上的
凸函数，则对任意的，有不等式:有当且仅当时
等号成立。
2.若是区间上的
凹函数，则对任意的，有不等式:当且仅当时等号成立。
3.其加权形式为：若是区间上的凸函数，则对任意的，且为正数 [1] ，有若是区间上的凹函数，则对任意，且
则有
均值不等式
a2 + b2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）
当a、b 分别大于0时，上式可变为a+b ≥2√ab
有可分以下几种情况：
⑴对实数a,b，有a2+b2≥2ab （
当且仅当a=b时取“=”号），a2+b2≥-2ab
⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√ab≥0，即（a+b)/2≥√ab≥0
⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑹对非负数a,b，有a2+b2≥[(a+b)2]/2≥2ab
⑺对非负数a,b,c，有a2+b2+c2≥[(a+b+c)2]/3
⑻对非负数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+ac
⑼对非负数a,b，有a2+ab+b2≥[3(a+b)2]/4
⑽对实数a,b,c，有（a+b+c）/3≥（abc）1/3
另：
√[(a2+ b2)/2] ≥（a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
设a，b是两个正数，
M2=√[(a2+b2)/2]，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2/(1/a+1/b)
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，
几何平均和调和平均。证明： M2≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4）是平行于梯形ABCD的
底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a2+b2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位线，那么
E2F2=(a+b)/2。
E3F3=√ab。
E4F4=2/(1/a+1/b）。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取
等号。
对于n元，√[(x12+x22+...+xn2）/n]≥(x1+x2+...+xn)/n≥(x1x2...xn)1/n≥n/[(1/x1)+(1/x2)+...+(1/xn)]
幂平均不等式
幂平均不等式：aᵢ>0（1≤i≤n），且α>；β，则有（∑aᵢ^α/n)^1/α≥（∑aᵢ^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设aᵢ>0，pᵢ>0（1≤i≤n），且α>；β，则有
（∑pᵢ*aᵢ^α/∑pᵢ）^1/α≥（∑pᵢ*aᵢ^β/∑pᵢ)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn时取等号。
特例：
-
调和平均（-1次幂）， -
几何平均（0次幂）， -
算术平均（1次幂） ， - 二次平均（2次幂）
权方和不等式
1）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
当且仅仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
2）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，-1
当且只有当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
（
赫尔德不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^（1/p） * （∑[i=1,n]bi^q）^（1/q)