阿罗不可能性定理是指不可能从个人偏好顺序推导出群体偏好顺序。阿罗认为，个人偏好顺序和群体偏好顺序都应符合两个公理和五个条件。这两个公理是：（1）完备性公理。对任意两个决策方案X和Y，要么对X的偏好甚于或无差异于Y，要么对Y的偏好甚于或无差异于X。（2）传递性公理。对任意三个方案X、Y和Z，若对X的偏好甚于或无差异于Y。而对Y的偏好甚于或无差异于Z，则对X的偏好甚于或无差异于Z。

1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（KennethJ．Arrow）在他的经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个结论：绝大多数情况下这是不可能的。更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而证明一个定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。

阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。

关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。

阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候，波兰大逻辑学家塔斯基（Tarski）到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念。在此之前，阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学。

后来，阿罗考上研究生，在哈罗德·霍特林（HaroldHotelling）的指导下攻读数理经济学。他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地。例如消费者的最优决策，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。又如，厂商理论总是假设厂商追求利润最大化，当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的，厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。人们知道现代经济中的企业，一般是由许多股东所共同拥有，100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地，根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那么，问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东（按其占有股份多少）进行投票表决，得票最多的方案获胜。这又是一个排序问题，阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察，结果轻而易举地举出了一个反例。

阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考，就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品，不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍，因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家孔多赛在1785年提出的。但是阿罗那时对孔多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究，这是1947年。

1948年，在芝加哥考尔斯（Cowles）经济研究委员会，阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后，他在《政治经济学杂志》里发现布莱克（Black）的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想，看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以严肃的经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础。他认为在除此以外的“旁门左道”中深究下去会分散他的精力。

1949年夏天，阿罗担任兰德公司（Rand）的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司，那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨（Helmer）的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究，但是有个问题令他感到十分棘手：当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他，经济学家已经考虑过这个问题，并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森（Bergson）在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题，它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用，虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的，但是阿罗告诉赫尔墨，不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明。当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数”一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后，阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然，他很快就发现了这样一个结果；几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。

阿罗不可能定理就这样诞生了。

从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折，千呼万唤始出来，而且颇有点无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤，开出一朵千古留芳的奇葩。这不能不说是耐人寻味的。

阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”。早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。

甲（a＞b＞c）；乙（b＞c＞a）；丙（c＞a＞b）注：甲（a＞b＞c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。

1、若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a＞b）；乙（b＞a）；丙（a＞b）；社会次序偏好为（a＞b）

2、若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（b＞c）；乙（b＞c）；丙（c＞b）；社会次序偏好为（b＞c）

3、若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a＞c）；乙（c＞a）；丙（c＞a）；社会次序偏好为（c＞a）

于是得到三个社会偏好次序——（a＞b）、（b＞c）、（c＞a），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c，而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。

阿罗的不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。

阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。

为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干（V）、巧克力饼干（C）和草莓饼干（S），每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V＞S＞C，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：

甲：V＞C＞S；乙：C＞S＞V；丙：S＞V＞C

投票者对不同选择方案的偏好次序，甲：V；C；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。

用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：

首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；

然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；

最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。

这样三个人的最终表决结果如下：

V＞C，C＞S，S＞V可见，利用少数服从多数的投票机制，将不能产生一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”（paradoxofvoting）。这个投票悖论最早是由康德尔赛（Coudorcet，Marquisde）在18世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学、逻辑对其进行论证的则是阿罗。

用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系＞i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：　其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序（偏好）得到群体排序（偏好），而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A＞B，那么，B＜A；是传递的，即如果A＞B，B＞C，则有A＞C；并且还是完全的，即要么A＞B，要么B＞A，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理（有时表述为5条，把公理1分为两条）表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，采用了自然语言解释。

公理1：个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择（数学上称为原则U—无限制原则：＞i，u=1，2，…，　m在x上的定义方式无任何限制）。

公理2：不相干的选择是互相独立的；（数学上称为原则I——独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关）。

公理3：社会价值与个体价值之间有正向关联；（数学上称为原则P—一致性原则：如果对X中的两个事件X和Y，对于所有的i都有xiY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。）

公理4：没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。（数学上称为原则D——非独裁原则）：不存在某个i，使得阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则（称为“社会福利函数”）。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。

换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则（majorilyrule）的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。

在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好X胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的（transitivity），即大多数人偏好X胜于Z。但实际上，大多数人偏好Z胜于X。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这就是“投票悖论”，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这两难境地。

那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序（agenda）的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。

这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由——否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济——否则将导致垄断。人们对社会的认识达到一个新的高度。因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。李特尔、萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。

事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。怎样综合社会个体的偏好，怎样在理论上找到一个令人满意的评价不同社会形态的方法，成为一个世界性难题。这时候出现了阿马弟亚·森（AmartyaKumarSen，1933年一）从20世纪60年代中期起，森在工具性建设方面的贡献减少了这种悲观主义色彩。森在这方面的研究推动了规范经济学跨越这个障碍向前发展。他的研究工作不仅丰富了社会选择理论的原则，而且开辟了一个新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集体选择和社会福利》是其最重要的一部著作，它使许多研究者恢复了对基本福利的兴趣。

森所建议的解决方法其实非常简单。森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为下面的表2，仅仅甲的偏好由于同意“V并非最佳”而V和C的顺序互换了一下，别的都不变。

投票者对不同选择方案的偏好次序，甲：C；V；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。

在对V和C两种方案投票时，C以两票（甲乙）对一票（丙）而胜出于V（C＞V）；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S以两票（乙丙）对一票（甲）而胜出于V（S＞V）；C以两票（甲乙）对一票（丙）而胜出于S（C＞S）。这样，C＞S—S＞V—C＞V，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。

森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：

⑴所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；

⑵所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；

⑶所有人都同意其中一项选择方案并非最差。

森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到的决定。

一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足偏好逆转假设和弱帕累托假设，就必定是独裁的。特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。

1、所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。

该公理表明：选民对候选人的任何一种排序都是允许的，也就是每一位选民可以完全按照各自的意愿挑选自己中意的候选人。

2、对任意一对备选方案 x 、y ，如果对于任何投票人都有 x ≥ y ，根据选举规则就应该确定 x ≥ y ；而且当且仅当对所有投票人都有 x = y 时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。

该公理表明：全体选民的一致愿望必须得到尊重，同时每个选民的意愿也不能受到随意的忽略，体现了选民的主权特性。

3、对任意一对备选方案 x 、y ，如果在某次投票的结果中有 x ＞ y ，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中 x 的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括 x ＞ y。

该公理表明：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度相对于其他候选人来说没有降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。

4、如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。

该公理表明：某一组候选人在选举结果中的相对位置不会受除他们以外的其他候选人选举地位变动的影响，反映了无关候选人的独立性。公理3和公理4结合在一起，说明候选人的选举成绩只取决于选民对他们作出的评价。

5、不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案 x 、y ，只要该投票人在选举中确定 x ＞ y ，选举规则就确定 x ＞ y。

该公理表明：不存在能够仅凭个人意愿就决定选举结果的独裁者。