四维空间，也叫做“欧几里得四维空间”，是标准欧几里得空间。它是一个数学概念，可以拓展到n维；四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。

“四维时空”（叫做“闵可夫斯基空间”），爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及，主要表述为“宇宙是由三维空间和一维时间组成的‘四维时空’”，所指的“第四维”与其它三维性质有很大差异。而“四维空间”概念中所说的“第四维”是指和其它三维性质一样的空间维度。

两个概念完全不同，但长期的误用使得大众经常混淆这两个概念。一般人说到“四维空间”时，经常是误指四维时空概念，以至于有“四维空间的第四维是时间”这样的混乱说法出现。

这种普遍性的误用，是由于相对论的相关科普和文艺作品的流行。而对于不了解相对论的人而言，这极容易造成对于相对论的错误理解。

关于这一点，考克斯特曾写道：

非常错误的理解。闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes

当然，站在科学精神的角度讲，没人会阻止提出“四维空间的第四维是时间”这么一个假说出来。但无论怎样，弄清“四维时空”和“四维空间”两个概念是十分有必要的。

一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间。

从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。

在人所熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。这三对方向两两正交，也就是说，它们两两成直角。从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴，x，y，z上。计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度。

纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向。这一对方向处在另一条同时垂直于x，y，z轴的坐标轴上，通常称作w轴。对这两个方向的命名，人们的看法不一。一些现行的命名有安娜/卡塔，斯皮希图/斯帕提图，维因/维奥，和宇普西龙/德尔塔。这些额外的方向处于（实际上是垂直于）我们所能观察到的三维世界中的方向之外。

直观地，一个图形的维数可以认为是一个人要想达到这个图形中所有的点，需要运动的所有不同方向的数目。

例如，一个点是一个零维图形。我们不需要任何向量来张出它，因为如果我们从这个点出发，我们已经到达了它所有的位置。

一条直线是一个一维图形。从直线的某一个点上出发，我们需要一个指向这个直线的方向的向量来到达到直线上的其他点。只要一个向量就足够了，因为通过不同程度的伸缩它我们可以到达直线上的任意其他点。

一个平面是一个二维图形。给定平面上的一个起始点，我们至少需要两个互不平行的向量来张出这个平面。如果只有一个向量，我们只能到达某一条直线上的所有点；所以我们需要有另一个与它不平行的向量来往这条直线的“两边”走，从而到达平面上的其他点。只要两个方向就足够了，因为我们可以顺着（或逆着）前一个向量走不同的距离，再往两边走不同的距离来到达平面上的任意点。也可以把平面理解成许多平行线的“堆积”；要想在二维平面上从一点运动到另一点，我们需要首先沿着线平行线运动，再穿过这些平行线向另一个方向运动。

在我们的眼中，空间是三维的。要达到空间中的某一点，我们不仅要向前向后、向两边走，还需要上下移动。换句话说，需要第三个向量才能到达空间中的所有点。同样，也可以把空间理解成许多平行平面的堆积：要想在空间中从一点运动到另一点，我们可以先沿着一个方向前后走，再向两边走，最后上下走。

四维空间则是一个需要四个不同方向才能到达其中所有点的空间。这种空间可以认为是许多平行的三维空间的堆积。要理解这个概念，想象一下把一张张纸并列叠起来的过程。如果人不把它们一个个堆叠起来，这些纸张不会延伸进三维空间。以同样的方式，要想进入四维空间，就必须向一个新的方向运动，这个方向必须是在三维空间以外的。要达到四维空间中的每一个点，一个人不仅需要向前后、左右、上下移动，还要沿着一对新的方向运动，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫维因/维奥等等。

要理解四维空间的本性，我们可以通过与低维度类比进行推广。维数类比是指通过研究n - 1维与n维之间的关系，来推断n维与n + 1维之间会有什么样的关系。

埃德温·阿伯特·阿伯特在他的书平面国中运用维数类比，讲述了在一个扁平得就像一张纸的二维世界中生活的一个正方形的故事。在这个正方形的眼中，生活在三维世界中的人们拥有近乎神的力量，因为他们能在不打破（二维的）保险箱的情况下从其中把东西（通过移入移出三维空间的方法）取出，能看到所有在二维世界看来是被挡在墙后面的东西，甚至能站在离二维世界几英寸的地方来保持“隐形”。

通过应用维数类比，人们可以推断，四维空间中的人在我们三维的视角看来应该有类似的神奇能力。鲁迪·拉克在他的小说《空间世界》（Spaceland）中展示了这一点。小说的主人公就遇到了具有神奇能力的四维人。

摘要

几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。

关键词

零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。

n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲笑四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元数，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。

1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：

我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。

然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。

经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。

四维空间的概念也可以通过解析几何的手段来研究。在那里我们可以利用代数方程来表示几何概念。为了利用这个手段进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素——点、直线和平面的方程。利用笛卡尔系统表示，我们可以写出：

点的方程：ax + b = 0 （坐标系：直线上的一个点）。

直线的方程：ax + by + c = 0 （坐标系：平面上的两条正交直线）。

平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面)。

从上面的研究我们可以看出：

所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变量数目，等于这个空间的维数加1。

坐标系中的几何元素与被表示的几何空间的几何元素的维数相同。

在这个坐标系中，几何元素的数目等于被表示的空间的维数加1。在坐标系中，几何元素的这个数目是最低要求。

用来表示几何元素的坐标系，位于比它所含有的几何元素高一维的空间里。

根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程。应当注意：这个方程有四个变量（x、y、z、u）。

ax + by + cz + du + e = 0

根据这公式我们可以断定：

1. 这个坐标系的几何元素有三维，即它们是三维空间。

2. 在这个坐标系中有四个三维空间。

3. 这个坐标系位于一个四维空间里。

我们对于四维空间乃至更高空间的研究，不是通过实验总结的方式，在现实中我们很难发现并推导出它们的一般规律，对于这些问题，我们可以采取一种新的研究方式。即：纯概念的研究。通过这种方式，我们可以容易的推导出这些很重要但在现实中不易想象的新内容。

对于四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，并且按照适当的方式“旋转”一下再回到三维空间，那么他会被‘轴对称’一下（这在三维空间中当然是不可能实现的，除非运用三维版本的莫比乌斯带）。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个从二维空间类比而得的假设，无法进行验证。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。

从二维空间的一个图形是不能在二维空间进行对称的，但进入三维空间，就可以通过进行翻转回到二维空间时，就可以实现对称，因为在二维空间是不能进行翻转的，只能旋转或平移。因此我们可以推测三维物体进入了四维空间，再回到三维空间可能物体会被“轴对称”一下。