H(f(x，y))/=float(m(n))；

直方图均衡化是通过灰度变换将一幅图像转换为另一幅具有均衡化的直方图，即在每个灰度级上都具有相同的象素点数的过程。

直方图均衡化变换：设灰度变换s=f(r)为斜率有限的非减连续可微函数，它将输入图像Ii(x，y)转换为输出图像Io(x，y)，输入图像的直方图为Hi(r)，输出图象的直方图为Ho(s)，则根据直方图的含义，经过灰度变换后对应的小面积元相等：Ho(s)ds=Hi(r)dr

变换函数f(r)必须满足下列2个条件：

(1)f(r) (O(r(1)是单值函数、且单调增加；

(2)O(f(r) (1，(O(r(1)。

上面第一个条件保证了灰度级从黑到白的次序，第二个条件保证了变换后像素的灰度级仍然在容许的范围之内。r=f-l(s)为逆变换函数，同样也要满足上述条件。

直方图修正的例子

假设有一幅图像，共有6 4(6 4个像素，8个灰度级），试进行直方图均衡化处理。根据公式可得：

s2=0.19+0.25+0.2l=0.65，

s3=0.19+0.25+0.2l+0.16=0.8l，

s4=0.89,s5=0.95，s6=0.98，s7=1．00。

由于这里只取8个等间距的灰度级，变换后的s值也只能选择最靠近的一个灰度级的值。因此，根据上述计算值可近似地选取：

s4¨6/7，s5¨1，s6¨l，s7¨1。

可见，新图像将只有5个不同的灰度等级，于是我们可以重新定义其符号：

s'O=l/7，s’1=3/7，s'2=5/7，s’3=6/7，s’4=l。

因为由rO=O经变换映射到sO=1/7，所以有n0=790个象素取sO这个灰度值；由rl=3/7映射到sl=3/7，所以有1 02 3个像素取s 1这一灰度值；依次类推，有850个像素取s2=5/7这一灰度值；由于r3和r4均映射到s3=6/7这一灰度值，所以有656+329=98 5个像素都取这一灰度值；同理，有245+1 22+81=448个象素都取s4=1这一灰度值。上述值除以n=4096，便可以得到新的直方图。离散情况下不可能作到绝对的一致。

在直方图中，只知道具有某一灰度值的像素有多少个，但并不知道这些象素的位置；

一个图像决定一个唯一的直方图，但是有时不同的图像具有相同的直方图；

如果已知一幅图像中各个区域的直方图，则把它们加起来，就可得到这个图像的直方图。

对图像进行数字化时，利用直方图可以检查输入图像的灰度值在可利用的灰度范围内分配得是否适当；

在医学方面，为了改善X射线操作人员的工作条件，可采用低辐射X射线曝光，但这样获得的X光片灰度级集中在暗区，导致某些图像细节无法看清，判读困难。通过直方图修正使灰度级分布在人眼合适的亮度区域，便可使X片中的细节清晰可见。

可以根据直方图确定二值化的阈值；

当物体部分的灰度值比其它部分的灰度值大时，可以用直方图求出物体的面积(实际上是象素数=灰度大于和等于q的象素的总和)；利用色彩直方图可以进行基于颜色的图象分割。

几何变换可改变图象中物体(象素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各象素在图象内移动的过程。

几何变换中灰度级插值是必不可少的组成部分，因为图象一般用整数位置处的象素来定义，某个点经变换后可能映射到多个点之间。

仿射变换(Affine Transformation)和图象卷绕(ImageWarping)是两类常见的几何运算。

1、最近邻插值

最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。

最邻近插值的特点有：

1.简单快速；

2.灰度保真好；

3.误差较大；

4.视觉特性较差

5.马赛克效应

2、双线性插值：

双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数f在点P(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11（x1,y1），Q12（x1,y2），Q21（x2,y1），Q22（x2,y2）四个点的值。如下图所示：

首先在x进行线性插值，得到两个点R1与R2：

,其中R1=（x,y1）;

,其中R2=（x,y2）;

然后在y方向进行线性插值，得到所要求的点P(x,y)，点P(x,y)的值由下式给出：

,其中y1=f(R1)，y2=(R2)

这样就得到了未知函数f在点P(x,y)的值，以下式子给出：

如果选择一个坐标系统使得的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，如图所示：

那么插值公式就可以化简为一个双曲面抛物面方程的形式： 的形式，代入各个点的值则可以得到：

由此式可以得带双曲抛物面的各个参数的值为：

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值

双线性插值的特点：

1.计算过程中充分的考虑到了各邻点的特征，具有灰度平滑过渡的特点；

2.一般情况下可以得到满意的结果；

3.具有低通滤波的特性，使图像轮廓变的模糊；

4.平滑作用会使图像细节退化，尤其是在放的的时候；

5.不连续性会产生不希望的结果。

3、高阶插值（三次卷积插值）：

在满足Nyquist条件下，从离散信号X（nTs）可以恢复连续信号x（t）：

sinc函数如图所示：

为了简化计算，仅取原点周围有限范围的函数（即高阶插值）：

利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc（x），得到以下式子：

当|x|<1时；

当1≤|x|≤2时；

当|x|>2时。

由此形成的三次卷积插值法，又称三次内插法，两次立方法（Cubic），CC插值法等。

利用插值点周围的16个邻点像素值：

首先确定辅助点位1p,2p,3p,4p各点的亮度值，再由此确定P点的值。由以下公式给出：

其中：

由此可以算出插值点P的的值。

三次卷积插值算法的特点：

1.是满足Nyquist条件下，最佳重构公式的近似；

2.只有图像满足特定条件时，三次卷积插值算法才能获得最佳的结果；

3.可使待求点的灰度值更好的模拟实际可能的值；

4.可以取得更好的视觉效果；

5.三次卷积插值算法的突出优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；

6.4*4时，像元均值和标准差信息损失小；

7.计算量大为增加。

空间变换包括可用数学函数表达的简单变换(如：平移、拉伸等仿射变换)和依赖实际图象而不易用函数形式描述的复杂变换(如对存在几何畸变的摄象机所拍摄的图象进行校正，需要实际拍摄栅格图象，根据栅格的实际扭曲数据建立空间变换；再如通过指定图象中一些控制点的位移及插值方法来描述的空间变换)。

1、仿射变换(affine transfomation)

仿射变换变换的公式如下：f(x)=AX=b

其中A是变形矩阵，b是平移矢量。

任何一个放射变换可以分解为尺度、伸缩、扭曲、旋转、平移的组合。

2、基本变换

(1)基本几何变换的定义

对于原图象f(x，y)，坐标变换函数

x’=a(x，y)；y’=b(x，y)

唯一确定了几何变换：g(x’，y’)=f(a(x，y)，b(x，y))；

g(x，y)是目标图象。

(2)平移变换

(3)旋转变换：绕原点旋转(度

(4)水平镜像

(5)垂直镜像

(6)缩放变换

3、透视变换(Persp ective Tmnsfomation)

透视变换是中心投影的射影变换，在用非齐次射影坐标表达时是平面的分式线性变换，透视变换常用于图象的校正。

4、几何校正

几何校正是指按照一定目的将图象中的典型几何结构校正为没有变形的本来形式。

例如，对如F的走廊图象进行校正，分两种情况，一种是针对地砖形状的校正，另一种是针对最右侧有把手的门形状的校正。

5．图像卷绕(Image Warping)

图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。

l、邻域平均

A、邻域的定义

B、邻域平均法

对一数字图像f(x，y)，以(x，y)为中心，取一滑动窗口--邻域S(例如：

3×3的方窗)进行处理：

缺点：去噪声的同时模糊了边界。

注意：当邻域中心落在图像边界上：(O行/列或N-l行/列)时

A、边界行/列点不处理；

B 、扩充上下两行、左右两列(复制)。

2、高斯滤波

一般的中值滤波(Median Filtering)

与加权平均方式的平滑滤波不同，中值滤波是将邻域中的象素按灰度级排序，取其中间值为输出象素。

1)中值滤波可以保护图像边界；

2)中值滤波窗口越大，滤波作用越强，但会丢失细节。

中值滤波是一种非线性滤波，适用于滤除脉冲噪声或颗粒噪声，并能保护图像边缘。这里以一维中值滤波为例：一维中值滤波就是用一个含有奇数点的一维滑动窗口，将窗口正中的那点值用窗口内各点按大小排列的中值代替。假设窗口长为5点，其中的值为(80，90，200，11 O，1 20)，那么此窗口内的中值即为11O。

边缘是指图象中灰度发生急剧变化的区域。图象灰度的变化情况可以用灰度分布的梯度来反映，给定连续图象f(x，y)，其方向导数在边缘法线方向上取得局部最大值。

图象中一点的边缘被定义为一个矢量，模为当前点最人的方向导数，方向为该角度代表的方向。通常我们只考虑其模，而不关心方向。

(一)梯度算子可分为3类：

1、使用差分近似图像函数导数的算子。有些是具有旋转不变性的(如：Laplacian算子)，因此只需要一个卷积掩模来计算。其它近似一阶导数的算子使用几个掩模。

2、基于图像函数二阶导数过零点的算子(如：M arr—Hild reth或Canny边缘检测算子。

3、试图将图像函数与边缘的参数模型相匹配的算子。

(二)第一类梯度算子

拉普拉斯(Laplace)算子通常使用3×3的掩模，有时也使用强调中心象素或其邻接性的拉普拉斯算子(这种近似不再具有旋转不变性)。

拉普拉斯算子的缺点：它对图像中的某些边缘产生双重响应。

图像锐化(shapeening)

图像锐化的目的是图像的边缘更陡峭、清晰。锐化的输出图像f是根据下式从输入图像g得到的：f(i，j)=g(i，j)-c s(i，j)，其中c是反映锐化程度的正系数，s(i，j)是图像函数锐化程度的度量，用梯度箅子来计算，Laplacian箅子常被用于这一目的。

Prewitt边缘检测算子

Sobel边缘检测算子

(三)第二类梯度算子--二阶导数过零点算子

根据图象边缘处的一阶微分(梯度)应该是极值点的事实，图象边缘处的二阶微分应为零，确定过零点的位置要比确定极值点容易得多也比较精确。右侧是Lena的过零点检测结果。

为抑制噪声，可先作平滑滤波然后再作二次微分，通常采用高斯函数作平滑滤波，故有LoG(Laplacian of Gaussian)算子。

高斯-拉普拉斯(LoG，Laplacian of Gaussian)算子。

噪声点对边缘检测有较大的影响，效果更好的边缘检测器是高斯-拉普拉斯(Lo G)算子。它把高斯平滑滤波器和拉普拉斯锐化滤波器结合起来，先平滑掉噪声，再进行边缘检测，所以效果更好。

过零点检测

在实现时一般用两个不同参数的高斯函数的差DoG(Difference ofGaussians)对图象作卷积来近似，这样检测来的边缘点称为f(x，y)的过零点(Zero—crossing)。

与前面的微分算子出仅采用很小的邻域来检测边缘不同，过零点(Zero-crossing)的检测所依赖的范闱与参数。有关，但边缘位置与0的选择无关，若只关心全局性的边缘可以选取比较大的邻域(如0=4时，邻域接近40个象素宽)来获取明显的边缘。过零点检测更可靠，不易受噪声影响，但．缺点是对形状作了过分的平滑，例如会丢失欠明显的角点；还有产生环行边缘的倾向。

产生环行边缘的原因是：图象的边缘多出现于亮度呈现突起或凹陷的位置上，其附近边缘法向线条上一阶微分会出现两个极值点，也就是会出现两个过零点。其整体结果是边缘呈现环行状态。

(四)Canny边缘提取（或边缘检测Edge Detection）

在如下的三个标准意义下，Canny边缘检测算子对受闩噪声影响的阶跃型边缘是最优的：

1)检测标准--不丢失重要的边缘，不应有虚假的边缘；

2)定位标准--实际边缘与检测到的边缘位置之间的偏差最小；

3)单响应标准--将多个响应降低为单个边缘响应。

Canny边缘检测算子的提出是基于以下概念：

(1)边缘检测算子是针对一维信号和前两个最优标准(即检测标准和定位标准)表达的，用微积分方法可以得到完整的解；

(2)如果考虑第三个标准(多个响应)，需要通过数值优化的办法得到最优解，该最优滤波器可以有效地近似为标准差为(的高斯平滑滤波器的一阶微分，其误差小于20%，这是为了便于实现；这与M ar—Hild reth边缘检测算子很相似；它是基于LoG边缘检测算子的；

(3)将边缘检测箅子推广到两维情况。阶跃边缘由位置、方向和可能的幅度(强度)来确定。可以证明将图象与一对称2 D Gaussian做卷积后再沿梯度方向微分，就构成了一个简单而有效的方向算子(回想一下，LoG过零点算子并不能提供边缘方向的信息，因为它使用了Laplacian滤波器)。

(4)由于噪声引起的对单个边缘的(多个)虚假响应通常造成所谓的“纹状(streaking边缘检测中是非常普遍的。

边缘检测算子的输出通常要做阈值化处理，以确定哪些边缘是突出的。

纹状是指边缘轮廓断开的情形，是由算子输出超出或低于阈值的波动引起的。纹状现象可以通过带滞后的阈值处理(thresh01ding withhysteresis)来消除；

如果边缘响应超过一给定高阈值时，这些象素点构成了某个尺度下的边缘检测算子的确定的输出。

个别的弱响应通常对应于噪声，但是如果这些点是与某些具有强响应的点连接时，它们很可能是图象中真实的边缘。这些连接的象素点在当其响应超过一给定的低阈值时，就被当作边缘象素。

这里的低阈值和高阈值需要根据对信噪比的估计来确定。

(5)算子的合适尺度取决于图象中所含的物体情况。解决该未知数的方法是使用多个尺度，将所得信息收集起来。不同尺度的Canny检测算子由高斯的不同的标准差(来表示。有可能存在几个尺度的算子对边缘都给出突出的响应(即信噪比超过阈值)；在这种情况下，选择具有最小尺度的算子，因为它定位最准确。

特征综合方法(Feature synthesis appmach)

首先标记出所有由最小尺度算子得到的突出边缘。具有较大尺度(的算子产生的边缘根据它们(标记出的边缘)合成得到(即，根据从较小的尺度收集到的证据来预测较大尺度(应具有的作用效果)。然后将合成得到的边缘响应与较大尺度(的实际边缘响应作比较。仅当它们比通过合成预测的响应显著地强时，才将其标记为边缘。

这一过程可以对一个尺度序列(从小到大)重复进行，通过不断加入较小的尺度中没有的边缘点的方式累积起来生成边缘图。

Canny边缘检测算法

l、对于递增的标准差(重复(2)到(6)步骤)；

2、将图象f与尺度为高斯函数做卷积；

3、对图象中的每个象素，估计局部边缘的法向n；

4、用非最大抑制公式找到边缘的位置；

5、用公式计算边缘强度；

6、对边缘图像做滞后阈值化处理，消除虚假响应；

7、用特征综合方法，收集来自多尺度的最终的边缘信息。 (通常的实现，省略该步。)

预处理过程一般有数字化、几何变换、归一化、平滑、复原和增强等步骤。

一幅原始照片的灰度值是空间变量（位置的连续值）的连续函数。在M×N点阵上对照片灰度采样并加以量化（归为2b个灰度等级之一），可以得到计算机能够处理的数字图像。为了使数字图像能重建原来的图像,对M、N和b值的大小就有一定的要求。在接收装置的空间和灰度分辨能力范围内,M、N 和b的数值越大,重建图像的质量就越好。当取样周期等于或小于原始图像中最小细节周期的一半时，重建图像的频谱等于原始图像的频谱，因此重建图像与原始图像可以完全相同。由于M、N 和b三者的乘积决定一幅图像在计算机中的存储量，因此在存储量一定的条件下需要根据图像的不同性质选择合适的M、N 和b值，以获取最好的处理效果。

用于改正图像采集系统的系统误差和仪器位置的随机误差所进行的变换。对于卫星图像的系统误差，如地球自转、扫描镜速度和地图投影等因素所造成的畸变,可以用模型表示,并通过几何变换来消除。随机误差如飞行器姿态和高度变化引起的误差，难以用模型表示出来，所以一般是在系统误差被纠正后，通过把被观测的图和已知正确几何位置的图相比较，用图中一定数量的地面控制点解双变量多项式函数组而达到变换的目的。

使图像的某些特征在给定变换下具有不变性质的一种图像标准形式。图像的某些性质，例如物体的面积和周长，本来对于坐标旋转来说就具有不变的性质。在一般情况下，某些因素或变换对图像一些性质的影响可通过归一化处理得到消除或减弱，从而可以被选作测量图像的依据。例如对于光照不可控的遥感图片，灰度直方图的归一化对于图像分析是十分必要的。灰度归一化、几何归一化和变换归一化是获取图像不变性质的三种归一化方法。

消除图像中随机噪声的技术。对平滑技术的基本要求是在消去噪声的同时不使图像轮廓或线条变得模糊不清。常用的平滑方法有中值法、局部求平均法和k 近邻平均法。局部区域大小可以是固定的，也可以是逐点随灰度值大小变化的。此外，有时应用空间频率域带通滤波方法。

校正各种原因所造成的图像退化，使重建或估计得到的图像尽可能逼近于理想无退化的像场。在实际应用中常常发生图像退化现象。例如大气流的扰动，光学系统的像差，相机和物体的相对运动都会使遥感图像发生退化。基本的复原技术是把获取的退化图像g(x，y)看成是退化函数h(x，y)和理想图像f(x，y)的卷积。它们的傅里叶变换存在关系 G(u，v=H(u，v)F(u，v)。根据退化机理确定退化函数后，就可从此关系式求出F(u，v)，再用傅里叶反变换求出f(x，y)。通常把

称为反向滤波器。实际应用时，由于H(u，v)随离开uv平面原点的距离增加而迅速下降，为了避免高频范围内噪声的强化，当u2+v2大于某一界限值W娿时，使M(u，v)等于1。W0的选择应使H(u，v)在 u2+v2≤W娿范围内不会出现零点。图像复原的代数方法是以最小二乘法最佳准则为基础。寻求一估值弮,使优度准则函数值最小。这种方法比较简单，可推导出最小二乘法维纳滤波器。当不存在噪声时，维纳滤波器成为理想的反向滤波器。

对图像中的信息有选择地加强和抑制，以改善图像的视觉效果，或将图像转变为更适合于机器处理的形式，以便于数据抽取或识别。例如一个图像增强系统可以通过高通滤波器来突出图像的轮廓线，从而使机器能够测量轮廓线的形状和周长。图像增强技术有多种方法，反差展宽、对数变换、密度分层和直方图均衡等都可用于改变图像灰调和突出细节。实际应用时往往要用不同的方法，反复进行试验才能达到满意的效果。