一种几何图形
在一个平面内,围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫作圆(Circle),全称圆形。
定义
在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(circle)。这个定点叫做圆的圆心
圆形一周的长度,就是圆的周长。能够完全重合的两个圆叫等圆
圆不是一个正n边形(n为无限大的正整数),边长无限接近0但永远无法等于0的正n边形可以近似约等于圆,但并不是圆。
相关概念
1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径,字母表示为r(radius)。
2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,字母表示为d(diameter)。直径所在的直线是圆的对称轴
在同一个圆中,圆的直径 d=2r
1.连接圆上任意两点的线段叫做(chord).在同一个圆内最长的弦是直径。平面内,过圆心的弦是直径,直径所在的直线是圆的对称轴,因此,圆的对称轴有无数条。
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc),以符号“⌒”表示。
2.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧,所以半圆既不是优弧,也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示,劣弧一般用两个字母表示。优弧是所对圆心角大于180度的弧,劣弧是所对圆心角小于180度的弧。
3.在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧
1.顶点在圆心上的角叫做圆心角(central angle),圆心角度数等于所对的弧的度数。
2. 顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半,等于所对的弧的度数的一半。
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆
同心圆
圆心相同的圆叫做同心圆
同圆
半径相同的圆叫做同圆。
圆周率
圆的周长与直径的比值叫做圆周率,即圆周率=圆周长÷直径。它是一个无限不循环小数,通常用字母π(读作“pài”)表示。
π≈3.1415926535897932384626433......计算时通常取近似值3.14。可以说圆的周长是直径的π倍,或大约3.14倍,不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。
1.由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
2.直径一样的圆中,圆的一半小于半圆(周长)。
3. 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做扇形(sector)。
对称性
圆是轴对称图形对称轴在过圆心的直线上,圆有无数条对称轴。圆同时也是中心对称图形对称中心有且仅有一个,位于圆的圆心。
表示方式
圆— ;半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);圆心—O;弧—⌒;直径—d ;
扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S。
计算公式
周长公式
圆的周长圆周长的一半 c=πr
半圆的周长
圆的周长公式推导(此方面涉及到弧微分
设圆的参数方程为,
圆在一周内周长的积分
代入,可得
面积公式
圆的面积计算公式
把圆分成若干等份,可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽相当于圆的半径。
圆锥侧面积(l为母线长)
弧长角度公式
扇形弧长L=圆心角弧度制)×R= (θ为圆心角)(R为扇形半径)
扇形面积(L为扇形的弧长
圆锥底面半径 (r为底面半径)(n为圆心角)
扇形面积公式
R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率,L是扇形对应的弧长。
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,如下:
(L为弧长,R为扇形半径)
推导过程:
()
位置关系
点和圆位置关系
①P在圆O外,则 PO>r。
②P在圆O上,则 PO=r。
③P在圆O内,则 PO<r。
反之亦然。
平面内,点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系判断一般方法是:
①如果(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则P在圆内。
②如果(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则P在圆上。
③如果(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则P在圆外。
直线和圆位置关系
①直线和圆无公共点,称相离。 AB与圆O相离,d(圆心到直线的距离)>r(半径)。
②直线和圆有两个公共点,称相交,这条直线叫做圆的割线。即AB与⊙O相交,d<r。
③直线和圆有且只有一公共点,称相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切,d=r。
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程。
如果b2-4ac>0,则圆与直线有2个公共点,即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0,则圆与直线有1个公共点,即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0,则圆与直线有无公共点,即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2,令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1,2,那么:
当x=-C/A>x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离;
当x1
圆和圆位置关系
①无公共点,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含。
②有公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切
③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距
设两圆的半径分别为R和r,且R〉r,圆心距为P,则结论:外离P>R+r;外切P=R+r;内含P<R-r。
内切P=R-r;相交R-r<P<R+r。
性质
⑴圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。
垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理
① 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)。
④两相切圆的连心线(两个圆心相连的直线)过切点。
⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
(4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦
(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
(8)周长相等,圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。
相关定理
切线定理
垂直于过切点的半径;经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线
切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:
(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理
从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。
以下简述切线长定理的证明。
欲证AC = AB,只需证△ABO≌ △ACO。
设OC、OB为圆的两条半径,又∠ABO = ∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO(H.L)
∴AB=AC,且∠AOB=∠AOC,且∠OAB=∠OAC。
切割线定理
切割线定理的证明:
圆的一条切线与一条割线相交于p点,切线交圆于C点,割线交圆于A B两点 , 则有pC^2=pA·pB
设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT2=PA·PB
证明:连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠APT=∠TPB(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB:PT=PT:AP
即:PT2=PB·PA
割线定理
割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线就是这条曲线的割线。
与割线有关的定理有:割线定理切割线定理。常运用于有关于圆的题中。
与切割线定理相似:两条割线交于p点,割线m交圆于A1 B1两点,割线n交圆于A2 B2两点,则pA1·pB1=pA2·pB2。
如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线,求证:PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC∵∠A和
∠C都对弧BD
∴由圆周角定理,得 ∠DAP=∠BCP
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP
(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。)
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
设在⊙O中,DC为直径, AB是弦,AB⊥DC于点E,AB、CD交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD
证明:连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形三线合一
∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
弦切角定理
弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)
已知:直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦。
求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
证明:设圆心为O,连接OC,OB,。
∵∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)
又∵∠BOC=2∠BAC
∴∠OCB=90°-∠BAC
∴∠BAC=90°-∠OCB
又∵∠TCB=90°-∠OCB
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
方程
1、标准方程:
平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2。
特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2。
2、一般方程:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有:
(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2);
(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形。
以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r·cosθ, y=b+r·sinθ, (其中θ为参数)。
端点式:
若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2),则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x2+y2=r2上一点M(a0,b0)的切线方程为 a0·x+b0·y=r2
在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0,b0)引该圆的两条切线,且两切点为A,B,则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2 (同构方程)
4、三点式方程:过不共线的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圆的方程为
绘制方式
一般情况下可用圆规画出圆形,或用一段绳子,一头固定在地上,一头转,就能转出圆,绳子越长,圆越大。
AutoCAD绘圆
在AutoCAD“绘图”下拉菜单中,列出了6种“圆”的绘制方法,简述如下:
(1)利用圆心和半径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;
(2)利用圆心和直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;
(3)以两点确定直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;
(4)以三点确定直径绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作;
(5)以确定半径与两个图形对象相切绘圆:用鼠标点取绘图命令,然后根据提示操作。
richtext控件绘圆
定义一个数组,该数组用来存储一个或多个坐标(Point)
然后按照以下步骤来实现
1 生成一个控件(如Label),并调整相应的属性
2 在内存中建立一张临时的图像作为画布,使用GDI+等各种绘图,将图像绘制到画布上
3 将生成的控件Image或BackGroundImage属性值设定为步骤2生成的图像
4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法,将控件添加进去(用户可以指定它的坐标)
5 将当前已经添加的控件的坐标记录在数组中(如对应第1个数据)
6 添加RichTextBox1.Scroll事件代码,在该代码中,
过获取滚动条的值来计算已添加控件应该所在的位置
说明:控件可以通过代码生成(推荐)
该方法与网上流传的QQ聊天窗口内RichTextBox方法不同,
属于简单型
用户务必要定义一个数组,用来参与ScrollBar滚动时,将目标控件重新定位
历史介绍
圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙砾石石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。
约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。
任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数,它就叫做圆周率,用字母π表示。它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值,即π≈3.14.如果用C表示圆的周长:C=πd或C=2πr.《周髀算经美索不达来亚人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术,认为圆内接正多连形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率,π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之(公元429-500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个分数值来表示圆周率:22/7称为约率,355/113称为密率。 在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图(公元1573年)和安托尼兹才得到这个数值。如今有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后五万亿位小数了。
参考资料
最新修订时间:2024-10-11 21:29
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